Limite non semplice...

[totinaples]

$((x^2-2x+4)/(x^2-2x+3))^x$
beh io ho provato a porlo come esponenziale quindi
$e^(xln(x^2-2x+4)-xln(x^2-2x+3))$ ma come si può ben vedere continuano a venire forme indeterminate...qualche idea su come procedere? Grazie

[Zero87]

"totinaples":$((x^2-2x+4)/(x^2-2x+3))^x$
...

Uhm... Prima di tutto a cosa tende il limite? Cioè, la $x$ a cosa tende? Vedendolo così mi viene da pensare $+\infty$, però chiedo conferma...

Se ti può aiutare prova a pensare $x^2-2x+4$ come $(x^2-2x+3)+1$ al numeratore...

Più che altro non vorrei sparare a zero dei suggerimenti, non sapendo a cosa tende la $x$

[totinaples]

sisi ovviamente mia sciocchissima dimenticanza...limite per x che tende a infinito...proverò cn il tuo consiglio comunque!

[totinaples]

neanche così riesco a risolverlo cmq...HELP!!!

[Zero87]

Comunque potrei anche sbagliare: le mie conoscenze sui limiti scavano nella memoria ad anni fa quindi spero di non fare danni!

Con il mio suggerimento (che potrebbe tranquillamente continuare ad essere campato per aria!), il limite si trasforma:

$lim_{x\to \infty} (\frac{x^2-2x+4}{x^2-2x+3})^x = lim_{x\to \infty} (\frac{x^2-2x+3+1}{x^2-2x+3})^x =$
$= lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x^2-2x+3}) ^x$

che è qualcosa di simile a $lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x $ che è un limite notevole.

Forse operando qualche sostituzione ci si riesce a prendere qualcosa: ripeto, non posso darti la un suggerimento sicuro perché non ricordo molto bene procedimenti standard che seguivo quando mi trovavo di fronte ad un limite...

Ciao!

[totinaples]

dubito che si possa fare così...anche perchè il risultato è 1
nessuno riesce ad aiutarmi???

[Auron2]

Forse sto per scrivere una bestemmia matematica, spero possa essere perdonato in quell'eventualità.
Io ho applicato la regola per le forme indefinite $1^oo$ :

$lim_(x->c) f(x)^(g(x)) = e ^ (lim_(x->c) [f(x)-1]*g(x)) $

Quindi:

$e^(lim_(x->oo) [(x^2-2x+4)/(x^2-2x+3)-1]*x)$

$e^(lim_(x->oo) [(1)/[x^2(1-2/x+3/x^2)]*x])$

$e^(lim_(x->oo) [1/x])$

$e^0=1$

[SiLv3r1]

"Zero87":Comunque potrei anche sbagliare: le mie conoscenze sui limiti scavano nella memoria ad anni fa quindi spero di non fare danni!

Con il mio suggerimento (che potrebbe tranquillamente continuare ad essere campato per aria!), il limite si trasforma:

$lim_{x\to \infty} (\frac{x^2-2x+4}{x^2-2x+3})^x = lim_{x\to \infty} (\frac{x^2-2x+3+1}{x^2-2x+3})^x =$
$= lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x^2-2x+3}) ^x$

che è qualcosa di simile a $lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x $ che è un limite notevole.

Forse operando qualche sostituzione ci si riesce a prendere qualcosa: ripeto, non posso darti la un suggerimento sicuro perché non ricordo molto bene procedimenti standard che seguivo quando mi trovavo di fronte ad un limite...

Ciao!

Scusate ma se il risultato è 1 allora il limite è bello che risolto (credo xD) per comportamento asintotico (il limite di un polinomio per x che va a più infinito è uguale al limite del monomio di grado maggiore) infatti sarebbe equivalente a :

$= lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x^2-2x+3}) ^x=$ $ lim_(x ->+oo) (1+1/x^(2))^(x) = lim_(x ->+oo) (1+1/x^(2))^(x^(2)/x) = lim_(x ->+oo) ((1+1/x^(2))^(x^(2)))^(1/x) =lim_(x ->+oo) (e)^(1/x) = e^(0) = 1

[Auron2]

"SiLv3r":Dato che 1/x tende a 0 e si ha 1 elevato ad un numero molto grande che però fa sempre 1!

Dato

O.O

$lim_(x->oo) (1+1/x)^x=$

Se avessi ragione tu, questo limite darebbe 1, e invece:

$lim_(x->oo) (1+1/x)^x=e$ ( limite fondamentale, tra i primi che si fanno )

E infatti:

$1^(oo)$ è forma indeterminata.

"SiLv3r": Scusate ma se il risultato è 1 allora il limite è bello che risolto (credo xD) per comportamento asintotico (il limite di un polinomio per x che va a più infinito è uguale al limite del monomio di grado maggiore) infatti sarebbe equivalente a :

$= lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x^2-2x+3}) ^x=$ $ lim_(x ->+oo) (1+1/x^(2))^(x) = lim_(x ->+oo) (1+1/x^(2))^(x^(2)/x) = lim_(x ->+oo) ((1+1/x^(2))^(x^(2)))^(1/x) =lim_(x ->+oo) (e)^(1/x) = e^(0) = 1

Ecco, così ha senso.

[calolillo]

"Auron":Forse sto per scrivere una bestemmia matematica, spero possa essere perdonato in quell'eventualità.
Io ho applicato la regola per le forme indefinite $1^oo$ :

$lim_(x->c) f(x)^(g(x)) = e ^ (lim_(x->c) [f(x)-1]*g(x)) $

Auron mi spiegheresti come arrivi a questa formula? Non l'avevo mai vista prima...

[SiLv3r1]

"Auron":[quote="SiLv3r"]Dato che 1/x tende a 0 e si ha 1 elevato ad un numero molto grande che però fa sempre 1!

Dato

O.O

$lim_(x->oo) (1+1/x)^x=$

Se avessi ragione tu, questo limite darebbe 1, e invece:

$lim_(x->oo) (1+1/x)^x=e$ ( limite fondamentale, tra i primi che si fanno )

E infatti:

$1^(oo)$ è forma indeterminata.

"SiLv3r": Scusate ma se il risultato è 1 allora il limite è bello che risolto (credo xD) per comportamento asintotico (il limite di un polinomio per x che va a più infinito è uguale al limite del monomio di grado maggiore) infatti sarebbe equivalente a :

$= lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x^2-2x+3}) ^x=$ $ lim_(x ->+oo) (1+1/x^(2))^(x) = lim_(x ->+oo) (1+1/x^(2))^(x^(2)/x) = lim_(x ->+oo) ((1+1/x^(2))^(x^(2)))^(1/x) =lim_(x ->+oo) (e)^(1/x) = e^(0) = 1

Ecco, così ha senso.[/quote]


Si haio ragione avevo scritto una cazzata me ne sono accorto dopo

[Auron2]

"calolillo":
Auron mi spiegheresti come arrivi a questa formula? Non l'avevo mai vista prima...

Bè, ci arrivi da questa:

$lim_(x->c) f(x)^(g(x)) = e ^(lim_(x->c) g(x)*lnf(x))$

Purtroppo la formula che ho scritto la prendo così direttamente dalla dispensa di una mia professoressa, ma posso a provare ad azzardare una spiegazione.
Allora, consideriamo il caso di forma indeterminata $ 1^oo $. Se siamo di fronte ad un caso del genere:

$f(x)^(g(x)) = 1^oo$

Quindi, nel caso più semplice:

$f(x)->1$
$g(x)->oo$

Ora però si ha quindi che:

$lnf(x)->0$

Posso quindi applicare l'infinitesimo:

$lnf(x) = f(x)-1$ ( dall'infinitesimo: $ln(1+x)=x$ )

Ne deriva che:

$lim_(x->c) f(x)^(g(x)) = e ^(lim_(x->c) g(x)*[f(x)-1])$, solamente per i casi di indeterminazione $1^oo$.

Ripeto, penso si arrivi alla formula tramite un procedimento del genere, spero di non aver detto una marea di cavolate.

"SiLv3r":
Si hai ragione avevo scritto una cazzata me ne sono accorto dopo

Non c'è problema, è un errore che molti fanno / hanno fatto, me compreso.

[calolillo]

"Auron":
Posso quindi applicare l'infinitesimo:

$lnf(x) = f(x)-1$ ( dall'infinitesimo: $ln(1+x)=x$ )

E' questa che non mi torna...credo che tu volessi dire:
$lnf(x)\simf(x)-1$ per $f(x)->0$ ma questo non è vero, perchè è $ln(1+f(x))\simf(x)$ e non $1+ln(f(x))\simf(x)$ (e anche se per assurdo fosse vero che $1+ln(f(x))\simf(x)$ non è sempre concesso dire che da questo segue che $1+ln(f(x))-1\simf(x)-1$)

[Auron2]

"calolillo":[quote="Auron"]
Posso quindi applicare l'infinitesimo:

$lnf(x) = f(x)-1$ ( dall'infinitesimo: $ln(1+x)=x$ )

E' questa che non mi torna...credo che tu volessi dire:
$lnf(x)\simf(x)-1$ per $f(x)->0$ ma questo non è vero, perchè è $ln(1+f(x))\simf(x)$ e non $1+ln(f(x))\simf(x)$ (e anche se per assurdo fosse vero che $1+ln(f(x))\simf(x)$ non è sempre concesso dire che da questo segue che $1+ln(f(x))-1\simf(x)-1$)[/quote]

Guarda, io l'ho pensata così:

$ln(1+x)\simx$

Sostituisco:

$1+x=t$ e di conseguenza $x=t-1$

Quindi si ha che:

$lnt\sim(t-1)$

In ogni caso , tu hai scritto che:

"calolillo": E' questa che non mi torna...credo che tu volessi dire:
$lnf(x)\simf(x)-1$ per $f(x)->0$ ...

Ma $f(x)->1$ , non a $0$.

E' lecito ciò che ho pensato ?

[calolillo]

Sì, mi hai convinto, avevo fatto un po' di confusione inutile