Limite, non riesco a capire un passaggio...

[Baldur1]

da

$lim_(x->0) [(cosx - senx) / (senx + cosx) + (x-1)e^-x] / [4x^3 + 3x^2]$

a

$lim_(x->0) [cosx - senx + (senx + cosx)(x-1)e^-x] / [x^2(4x+3)(senx + cosx)]$

In particolare non riesco a capire come ha fatto a portare il rapporto $(cosx - senx) / (senx + cosx)$ nella forma che vedo nel secondo passaggio.... grazie

[Giux1]

Ciao... prova a moltiplicare sopra e sotto per il fattore $(senx+cosx)$

[Noisemaker]

minimo comune multiplo a numeratore, ha raccolto $x^2$ a denominatore e moltiplicato in denominatore per il minimo comune multiplo ottenuto a numeratore

[Baldur1]

"e moltiplicato in denominatore per il minimo comune multiplo ottenuto a numeratore"

e si può fare?

[Noisemaker]

\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}+(x-1)\cdot e^{-x}}{4x^3+3x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\frac{\cos x-\sin x +(\sin x+\cos x)\cdot(x-1)\cdot e^{-x}}{\sin x+\cos x} }{4x^3+3x^2}\\
&=\lim_{x\to0} \frac{\cos x-\sin x +(\sin x+\cos x)\cdot(x-1)\cdot e^{-x}}{(4x^3+3x^2)(\sin x+\cos x)}\\
&=\lim_{x\to0} \frac{\cos x-\sin x +(\sin x+\cos x)\cdot(x-1)\cdot e^{-x}}{x^2\cdot (4x +3)(\sin x+\cos x)}
\end{align}

[Baldur1]

quindi dopo aver fatto il minimo comune a numeratore, ha moltiplicato numeratore e denominatore insieme, per $senx + cosx$, e poi ha semplificato al numeratore $senx + cosx$, giusto?

[Noisemaker]

ma no non ho semplificato niente, ma questo a cosa è equivalnte?

\begin{align} \frac{ \displaystyle\frac{f(x)+g(x)}{h(x)}}{z(x)}\end{align}

[Baldur1]

"Noisemaker":ma no non ho semplificato niente, ma questo a cosa è equivalnte?

al numeratore per il reciproco del denominatore.

[Noisemaker]

Appunto
\begin{align} \frac{ \displaystyle\frac{f(x)+g(x)}{h(x)}}{z(x)}= \frac{f(x)+g(x)}{h(x)}\cdot\frac{1}{z(x)}=\frac{f(x)+g(x)}{z(x)\cdot h(x)} \end{align}

quindi questo vale anche nel tuo limite sopra

[Baldur1]

Già, grazie come sempre