Limite n! / n^n

[marco.ve1]

Ciao a tutti, vi sembra corretta come dimostrazione?

Posto [tex](a_n)_n = n! / n^n[/tex], si trovi [tex]\lim_{n \to \infty}{a_n}[/tex].

Sapendo che [tex]\lim_{n \to \infty}{a_{n+1} / a_n} = 1/e[/tex], si ha che [tex](a_n)_n[/tex] è strettamente decrescente poichè
1/e < 1 e quindi [tex]a_{n+1} < a_n[/tex] almeno definitivamente.
Inoltre [tex]a_n > 0[/tex] e quindi [tex](a_n)_n[/tex] è convergente.
Se fosse [tex]\lim_{n \to \infty}{a_n} \ne 0[/tex] si avrebbe [tex]\lim_{n \to \infty}{a_{n+1} / a_n} = \frac{\lim_{n \to \infty}{a_{n+1}} }{\lim_{n \to \infty}{a_n} } = 1[/tex], poichè [tex]\lim_{n \to \infty}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty}{a_n} \in \mathbb{R}^*[/tex]. Ciò è assurdo, visto che [tex]a_n < 1[/tex] (infatti n! è maggiorata da n^n), quindi [tex]\lim_{n \to \infty}{a_n} = 0[/tex].

[Luca.Lussardi]

Alternativa (ma serve la teoria delle serie): siccome $\lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}=1/e<1$ la serie di termine generale $a_n$ converge per cui $\lim_na_n=0$.

[Raptorista1]

Una dimostrazione alternativa, magari più semplice:
\[
\frac {n!}{n^n} = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n}.
\]
Tutti i fattori sono minori di uno, e gli ultimi tendono a zero.