Limite molto difficile
L'anno scorso durante Analisi 1 mi è venuto in mente un limite apparentemente niente di che, ma che si è rivelato particolarmente difficile, che non so tutt'ora risolvere, volevo sapere se qualcuno di voi riesce a risolverlo ed possibilmente spiegarmi come si fa.
Il limite è questo: $\lim_{n \to \infty}n(1+sen(n))$.
Il limite è questo: $\lim_{n \to \infty}n(1+sen(n))$.
Risposte
Rieccomi! Finalmente ho un po' di tempo libero e posso tornare a rispondere.
Dell'ultimo messaggio non mi tornano 2 cose, la prima è questa:
Credo che in questo passaggio si stia spezzando il liminf, quello che non mi torna è che si possa mettere l'uguaglianza, secondo me ci vorrebbe il $>=$, oppure andrebbe spiegato più in dettaglio il perché si possa fare.
La seconda è che alla fine, quando applichiamo il teorema, a $pi$, abbiamo come dici tu due successioni $p_m$ e $q_m$ t.c. etc.etc, ora il problema è che noi stiamo facendo $underset{m \to \infty}{\text{liminf }} (msin^2(m))$ dove $m=n/2+pi/4$, quindi il dominio della funzione di cui stiamo facendo il limite è ${n/2+pi/4|n\inNN}$, quindi non ce ne facciamo nulle delle successioni $p_m$ e $q_m$ perché queste sono a valori naturali, quindi non appartengono al dominio della nostra funzione.
Che ne pensate?
Dell'ultimo messaggio non mi tornano 2 cose, la prima è questa:
"Bremen000":
$underset{m \to \infty}{\text{liminf }} ( -\pi\sin^2(m) + 4m\sin^2(m) ) = 0 + 4\underset{m \to \infty}{\text{liminf }}m\sin^2(m)$
Credo che in questo passaggio si stia spezzando il liminf, quello che non mi torna è che si possa mettere l'uguaglianza, secondo me ci vorrebbe il $>=$, oppure andrebbe spiegato più in dettaglio il perché si possa fare.
La seconda è che alla fine, quando applichiamo il teorema, a $pi$, abbiamo come dici tu due successioni $p_m$ e $q_m$ t.c. etc.etc, ora il problema è che noi stiamo facendo $underset{m \to \infty}{\text{liminf }} (msin^2(m))$ dove $m=n/2+pi/4$, quindi il dominio della funzione di cui stiamo facendo il limite è ${n/2+pi/4|n\inNN}$, quindi non ce ne facciamo nulle delle successioni $p_m$ e $q_m$ perché queste sono a valori naturali, quindi non appartengono al dominio della nostra funzione.
Che ne pensate?
Non posso che darti ragione in entrambi i casi, non avevo proprio pensato a nessuna delle due cose! Sinceramente non saprei come sistemarla, speriamo che arrivi qualcuno con qualche idea!
Il metodo che ho usato va bene per far vedere che $\lim_{n \to \infty} n*|\sin(n)|$ non esiste ma in questo caso non riesco a riadattarlo bene!
Il metodo che ho usato va bene per far vedere che $\lim_{n \to \infty} n*|\sin(n)|$ non esiste ma in questo caso non riesco a riadattarlo bene!
Ho ripensato al primo problema, e mi pare che tutto sommato non sia difficile da risolvere, ecco come: basta aggirarlo!
Quello che voglio dire è che a noi interessa che $4\underset{m \to \infty}{\text{liminf }}m\sin^2(m)$ è finito $iff$ $\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n))$ è finito, non tanto che i 2 liminf sono uguali, ed è vero perché le successioni differiscono di $-\pisen^2(m)$, che è una successione limitata.
Il problema è che rimane l'altra questione, ed io non ho idea di come si possa risolvere.
Quello che voglio dire è che a noi interessa che $4\underset{m \to \infty}{\text{liminf }}m\sin^2(m)$ è finito $iff$ $\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n))$ è finito, non tanto che i 2 liminf sono uguali, ed è vero perché le successioni differiscono di $-\pisen^2(m)$, che è una successione limitata.
Il problema è che rimane l'altra questione, ed io non ho idea di come si possa risolvere.
Ciao, ho chiesto su math.stackexchange e mi hanno dato una risposta piuttosto complicata però esaustiva. La riporto tradotta (per il poco che c'era da tradurre) e allego il link della risposta originale.
Applicando il teorema con $\theta = \frac{1}{2\pi}$ e $\alpha = -3/4$ (che evidentemente ne verificano le ipotesi) si ha che vale:
\begin{equation}
\left|q - 2\pi\left(p+\frac34\right)\right| < \frac{\pi}{2|q|}
\end{equation}
Se $q>0$ sia $n=q$ e $m=p$, altrimenti sia $n= -3q$ e $m=-3(p+1)$. La (1) diventa:
$$
\left|n - 2\pi\left(m + \frac34\right)\right| < \frac{\pi}{2n} \times
\begin{cases}1, & q > 0\\ 9, & q < 0\end{cases} \Rightarrow |n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi| < \frac{9 \pi}{2n}
$$
Ora, applicando il lemma con $\theta = n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi$ si ha che esistono infiniti $n$ t.c.
$$
0 \le 1+ \sin(n) = 1 + \sin[\frac{3}{2} \pi + (n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi)] \le \frac{|n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi|^2}{2} \le \frac{81\pi^2}{8n^2}$$
Dunque
$$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n)) \le \underset{n \to \infty}{\text{liminf }} \frac{81\pi^2}{8n}=0$$
Da cui la tesi.
Link: https://math.stackexchange.com/question ... 47_2296727
Teorema
Siano $\theta \notin \mathbb{Q}$ e $\alpha \notin \mathbb{Z}$ tali che $x-\theta y -\alpha =0$ non abbia soluzioni intere. Allora esistono infinite coppie di interi $p$ e $q$ tali che
$$ |q(p - \theta q - \alpha)| < \frac14 $$
Lemma
Per ogni $\theta \in \mathbb{R}$ vale la disuguaglianza seguente:
$$ 0 \le 1+\sin(\frac{3}{2} \pi + \theta) \le \frac{\theta^2}{2}$$
Applicando il teorema con $\theta = \frac{1}{2\pi}$ e $\alpha = -3/4$ (che evidentemente ne verificano le ipotesi) si ha che vale:
\begin{equation}
\left|q - 2\pi\left(p+\frac34\right)\right| < \frac{\pi}{2|q|}
\end{equation}
Se $q>0$ sia $n=q$ e $m=p$, altrimenti sia $n= -3q$ e $m=-3(p+1)$. La (1) diventa:
$$
\left|n - 2\pi\left(m + \frac34\right)\right| < \frac{\pi}{2n} \times
\begin{cases}1, & q > 0\\ 9, & q < 0\end{cases} \Rightarrow |n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi| < \frac{9 \pi}{2n}
$$
Ora, applicando il lemma con $\theta = n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi$ si ha che esistono infiniti $n$ t.c.
$$
0 \le 1+ \sin(n) = 1 + \sin[\frac{3}{2} \pi + (n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi)] \le \frac{|n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi|^2}{2} \le \frac{81\pi^2}{8n^2}$$
Dunque
$$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n)) \le \underset{n \to \infty}{\text{liminf }} \frac{81\pi^2}{8n}=0$$
Da cui la tesi.
Link: https://math.stackexchange.com/question ... 47_2296727
Scusami se ancora non ti avevo risposto, lo faccio ora comunque.
Innanzitutto grazie per lo sforzo profuso per il mio problema, che direi si può considerare risolto.
A questo punto cosa succederebbe se io fossi così malvagio
da modificare il problema iniziale così?
$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n^2(1+\sin(n))$.
Per risolverlo non basta più quello che si è fatto fin'ora, si può dire solo che è $<=81pi/8$.....
Innanzitutto grazie per lo sforzo profuso per il mio problema, che direi si può considerare risolto.
A questo punto cosa succederebbe se io fossi così malvagio
da modificare il problema iniziale così?$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n^2(1+\sin(n))$.
Per risolverlo non basta più quello che si è fatto fin'ora, si può dire solo che è $<=81pi/8$.....
In realtà così non va bene lo stesso? Avremmo un liminf finito e un limsup infinito, ergo non esiste.
Ecco, se metti $n^3$...
Ecco, se metti $n^3$...
Andrebbe bene se io avessi chiesto SE esiste il limite, ma io ho chiesto proprio il liminf, comunque anche la tua idea non mi dispiace ahahahah
Ah perdonami, credevo ci stessimo focalizzando proprio sull'esistenza del limite! Girovagando su internet ho scoperto che ad esempio il valore del liminf di $n|sin(n)|$ è proprio ancora una questione aperta, quindi immagino che limiti di questo tipo siano piuttosto complicati in generale.
Wow!!! Ma si sa almeno se è finito?
Si è finito e dovrebbe potersi dimostrare con la procedura (sbagliata) che avevo usato prima!
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