Limite misterioso

[peppeunummiruunu]

Premesso che non sono molto pratico con LaTex, cercherò di scrivere come meglio riesco.
Ho questo limite: $lim x \rightarrow 0 $ $ x - senx : tgx - x $
Il libro dice che il risultato è $ 1/2 $ ma io operando con de l' Hopital trovo che il risultato è $ 0 $.
Qualche aiutino con i passaggi mi sarebbe utile.

[21zuclo]

è per caso questo il limite?

$ \lim_(x\to 0) (x-\sin(x))/(tan(x)-x) $

se è quello.. ti do questo suggerimento.. utilizza gli sviluppi di Taylor-MacLaurin

[peppeunummiruunu]

Il limite è quello ma gli sviluppi di Taylor-Maclaurin non ci sono nel programma ed era comunque da risolvere con De l' Hopital.
Se puoi darmi qualche suggerimento su come fare ti sarei grato, mi scervello da ore.

[ciampax]

Usando de l'Hopital
$$...=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1+\tan^2 x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\tan^2 x}=$$
usandolo di nuovo
$$=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2\tan x(1+\tan^2 x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2\frac{\sin x}{\cos x}(1+\tan^2 x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{2(1+\tan^2 x)}=\frac{1}{2}$$

P.S.: puoi anche usare solo una volta de l'Hopital e poi procedere così
$$=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x(1-\cos x)}{1-\cos^2 x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x(1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x}{1+\cos x}=\frac{1}{2}$$

[peppeunummiruunu]

Grazie 1000 per laiuto