Limite malvagio
Salve a tutti, eccomi alle prese con i miei limiti 
$lim_(x->0^(+)) (1-(1-7x)^log(x))/((e^(2x)-1)log(x^3))$
Questo non ho proprio idea di come provare a svolgerlo...
Avevo pensato di scrivere cosi il limite:
$lim_(x->0^(+)) 1/((e^(2x)-1)log(x^3))-e^(log(x)*log(1-7x))/((e^(2x)-1)log(x^3))$
Però non riesco a ricondurmi ad una forma decente neanche se provo ad usare gli sviluppi di Mclaurin, quindi non so proprio come risolverlo...
$lim_(x->0^(+)) (1-(1-7x)^log(x))/((e^(2x)-1)log(x^3))$
Questo non ho proprio idea di come provare a svolgerlo...
Avevo pensato di scrivere cosi il limite:
$lim_(x->0^(+)) 1/((e^(2x)-1)log(x^3))-e^(log(x)*log(1-7x))/((e^(2x)-1)log(x^3))$
Però non riesco a ricondurmi ad una forma decente neanche se provo ad usare gli sviluppi di Mclaurin, quindi non so proprio come risolverlo...
Risposte
ciao,
non decomporre in due frazioni, va bene il passaggio all'esponenziale in base neperiana, basta usare un limite notevole (quello con l'esponenziale...) e dovresti trovare 7/6
non decomporre in due frazioni, va bene il passaggio all'esponenziale in base neperiana, basta usare un limite notevole (quello con l'esponenziale...) e dovresti trovare 7/6
Ho provato una via alternativa, vediamo se va bene 
$lim_(x->0^(+))(1-e^(log(x)*log(1-7x)))/((e^(2x)-1)*log(x^3))$
Per $x->0^(+)$, ho che $log(1-7x)\sim -7x$
Quindi:
$lim_(x->0^(+)) (1-e^(-7xlog(x)))/((e^(2x)-1)*log(x^3))$
$lim_(x->0^(+)) -7xlog(x)=0$ ( si vede facilmente scrivendo la funzione come $-7*log(x)/(1/x)$ e applicando il marchese)
Quindi per $x->0^(+)$, $e^(-7xlog(x))$ $\sim 1-7xlog(x)$
Il limite ora diventa:
$lim_(x->0^(+)) (1-(1-7xlog(x)))/((e^(2x)-1)log(x^3))$
Al denominatore, sviluppando ottengo che $x->0^(+)$, $e^(2x)$ $\sim 2x$
$lim_(x->0^(+)) (7xlog(x))/(2xlog(x^3))$
$lim_(x->0^(+)) (7/2)*log(x)/log(x^3)$
Applicando il marchese ottengo che il limite di partenza è $7/6$
Vi sembra tutto corretto?
$lim_(x->0^(+))(1-e^(log(x)*log(1-7x)))/((e^(2x)-1)*log(x^3))$
Per $x->0^(+)$, ho che $log(1-7x)\sim -7x$
Quindi:
$lim_(x->0^(+)) (1-e^(-7xlog(x)))/((e^(2x)-1)*log(x^3))$
$lim_(x->0^(+)) -7xlog(x)=0$ ( si vede facilmente scrivendo la funzione come $-7*log(x)/(1/x)$ e applicando il marchese)
Quindi per $x->0^(+)$, $e^(-7xlog(x))$ $\sim 1-7xlog(x)$
Il limite ora diventa:
$lim_(x->0^(+)) (1-(1-7xlog(x)))/((e^(2x)-1)log(x^3))$
Al denominatore, sviluppando ottengo che $x->0^(+)$, $e^(2x)$ $\sim 2x$
$lim_(x->0^(+)) (7xlog(x))/(2xlog(x^3))$
$lim_(x->0^(+)) (7/2)*log(x)/log(x^3)$
Applicando il marchese ottengo che il limite di partenza è $7/6$
Vi sembra tutto corretto?
Nel'ultimo passaggio non hai bisogno del Marchese, basta che usi: [tex]\log(x^{k})=k \log x[/tex]
"Palliit":
Non hai bisogno del Marchese, basta che usi: [tex]\log(x^{k})=k \log x[/tex]
giusto, grazie
Luluemicia mi ha suggerito di usare i limiti notevoli con l'esponenziale, ma non sono molto bravo.. Potresti darmi qualche suggerimento in questo caso?
I limiti cui fare riferimento sono questi: (A) [tex]\lim_{z\rightarrow 0}\frac{e^{z}-1}{z}=1[/tex] e (B) [tex]\lim_{z\rightarrow 0}\frac{\ln(1+z)}{z}=1[/tex].
Io farei così: [tex]\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1-e^{\ln x\cdot \ln(1-7x)}}{2x\cdot 3\ln x}\cdot \frac{2x}{e^{2x}-1}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1-e^{\ln x\cdot \ln(1-7x)}}{ \ln x \cdot \ln(1-7x)}\cdot\frac{\ln(1-7x)}{6x}[/tex], avendo usato il limite (A) ed avendo
aggiunto sia a numeratore sia a denominatore un prodotto per il termine [tex]\ln(1-7x)[/tex] per poter applicare anche l'altro limite (B).
A questo punto, nel primo dei due rapporti che rimangono nell'ultimo limite si trova facilmente che [tex]\ln x \cdot \ln(1-7x)[/tex] tende a zero, per cui tale rapporto, sempre per il limite (A), tende a [tex]-1[/tex], mentre sul secondo:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7x)}{6x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7x)}{-7x} \cdot\frac{-7x}{6x}=-\frac{7}{6}[/tex] in virtù del limite (B), per cui il prodotto tende a [tex]\frac{7}{6}[/tex].
Ti ritrovi?
Io farei così: [tex]\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1-e^{\ln x\cdot \ln(1-7x)}}{2x\cdot 3\ln x}\cdot \frac{2x}{e^{2x}-1}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1-e^{\ln x\cdot \ln(1-7x)}}{ \ln x \cdot \ln(1-7x)}\cdot\frac{\ln(1-7x)}{6x}[/tex], avendo usato il limite (A) ed avendo
aggiunto sia a numeratore sia a denominatore un prodotto per il termine [tex]\ln(1-7x)[/tex] per poter applicare anche l'altro limite (B).
A questo punto, nel primo dei due rapporti che rimangono nell'ultimo limite si trova facilmente che [tex]\ln x \cdot \ln(1-7x)[/tex] tende a zero, per cui tale rapporto, sempre per il limite (A), tende a [tex]-1[/tex], mentre sul secondo:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7x)}{6x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7x)}{-7x} \cdot\frac{-7x}{6x}=-\frac{7}{6}[/tex] in virtù del limite (B), per cui il prodotto tende a [tex]\frac{7}{6}[/tex].
Ti ritrovi?
Certo, grazie per la spiegazione
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