Limite log
come si capisce il limite di un logaritmo? devo trasformarlo in qualcos'altro? indipendentemente da dove tende la variabile...
Risposte
forse è meglio che posti il limite che devi calcolare....che dici?
"tommik":
forse è meglio che posti il limite che devi calcolare....che dici?
eggia, speravo in una risposta univoca...
$ Lim_(x->0)ln(2-cosx)/sin^2x$
Non vorrei sbagliarmi, ma $log (2-cosx)=log (1+(1-cosx))~(1-cosx)$ , $sin^2 (x)~x^2$, sostituendo si ha $lim_(x->0)(2-cosx)/(sin^2 (x))=lim_(x->0)(1-cosx)/x^2$, ma quest'ultimo e' un noto limite notevole che da come risultato $1/2$, pertanto
$lim_(x->0)log (1-cosx)/(sin^2 (x))=1/2$
$lim_(x->0)log (1-cosx)/(sin^2 (x))=1/2$
bastava anche semplicemente l'Hopital, essendo della forma $0/0$
$lim_(x->0)(ln(2-cosx))/(sen^2x)$
applicando la regola di de l'Hopital ottieni
$lim_(x->0)((senx)/(2-cosx))/(2senxcosx)=1/(4cosx-2cos^2x)=1/2$
applicando la regola di de l'Hopital ottieni
$lim_(x->0)((senx)/(2-cosx))/(2senxcosx)=1/(4cosx-2cos^2x)=1/2$
Sì d'accordo si può fare anche con hopital, ma alcuni testi richiedono espressamente di fare a meno di questo strumento seppur molto utile, in questo caso si può usare semplicemente gli asintotici ed un noto limite notevole. 
"francicko":
Non vorrei sbagliarmi, ma $log (2-cosx)=log (1+(1-cosx))~(1-cosx)$ , $sin^2 (x)~x^2$, sostituendo si ha $lim_(x->0)(2-cosx)/(sin^2 (x))=lim_(x->0)(1-cosx)/x^2$, ma quest'ultimo e' un noto limite notevole che da come risultato $1/2$, pertanto
$lim_(x->0)log (1-cosx)/(sin^2 (x))=1/2$
non capisco cosa significa "$ ~$ "
Scrivere $~$ significa asintotico, cioe' che per $x->0$ ad esempio al termine $log(1+(1-cosx))$ si puo' sostituire il termine $(1-cosx) $ ;
$log (1+(1-cosx))~(1-cosx)$, equivale ad applicare il limite notevole $lim_(x->0)log(1+f (x))/f (x)=1$, dove $f (x)->0$ per $x->0$.
$sin^2 (x)~x^2$, equivale al limite $lim_(x->0)(sin^2 (x))/(x^2)$ $=lim_(x->0)(sinx/x)×lim_(x->0)(sinx/x)=1×1=1$, dove si riconosce il noto limite notevole $lim_(x->0)(sinx)/x=1$
Sostituendo si ottiene un altro notissimo limite notevole $lim_(x->0 )(1-cosx)/(x^2)=1/2$, che e' il valore del limite cercato.
Volendo e' la stessa cosa che moltiplicare e dividere il limite dato per un dato termine in questo caso per $(1-cosx)$, e per $x^2$ , quindi $lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)×log(1+(1-cosx))/(1-cosx)×1/((sin^2 (x))/x^2)=(1/2)×1×1=1/2$,
dove si riconoscono i limiti notevoli di cui sopra, spero di essermi spiegato in modo chiaro.
Saluti!
$log (1+(1-cosx))~(1-cosx)$, equivale ad applicare il limite notevole $lim_(x->0)log(1+f (x))/f (x)=1$, dove $f (x)->0$ per $x->0$.
$sin^2 (x)~x^2$, equivale al limite $lim_(x->0)(sin^2 (x))/(x^2)$ $=lim_(x->0)(sinx/x)×lim_(x->0)(sinx/x)=1×1=1$, dove si riconosce il noto limite notevole $lim_(x->0)(sinx)/x=1$
Sostituendo si ottiene un altro notissimo limite notevole $lim_(x->0 )(1-cosx)/(x^2)=1/2$, che e' il valore del limite cercato.
Volendo e' la stessa cosa che moltiplicare e dividere il limite dato per un dato termine in questo caso per $(1-cosx)$, e per $x^2$ , quindi $lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)×log(1+(1-cosx))/(1-cosx)×1/((sin^2 (x))/x^2)=(1/2)×1×1=1/2$,
dove si riconoscono i limiti notevoli di cui sopra, spero di essermi spiegato in modo chiaro.
Saluti!
ok ora mi ripasso l-asintoticita l-avevo persa tra gli appunti
Le condizioni di validita di questa cosa sono che il limite sia a 0 o infinito e che le due funzioni siano numeri finiti?
perche la mia profe ha dato la definizione con il limite che tende a 0( argomento: limiti di funzioni), ma wikipedia ne parla con il limite all infinito( nell ambito delle successioni pero) cmq vale all infinito anche per le funzioni?
perche la mia profe ha dato la definizione con il limite che tende a 0( argomento: limiti di funzioni), ma wikipedia ne parla con il limite all infinito( nell ambito delle successioni pero) cmq vale all infinito anche per le funzioni?
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