Limite $lim_{x\to0^+} \frac{e*(cos(\sqrt{x}))^(\frac{2}{x})-1}{x}$

[koloko]

$lim_{x\to0^+} \frac{e*(cos(\sqrt{x}))^(\frac{2}{x})-1}{x}$
mie considerazioni:

[*:2qpb6hm3]al numeratore c'è una parte oscillante che tuttavia tende a 1. Perciò il numeratore dovrebbe tendere a $e-1$;[/*:m:2qpb6hm3]
[*:2qpb6hm3]al denominatore c'è una x che tende a 0 positivamente.[/*:m:2qpb6hm3][/list:u:2qpb6hm3]
Perciò verrebbe da dire che il limite diventa una cosa del genere
$lim_{x\to0^+} \frac{e-1}{0^+}=\infty$

[ciampax]

Domanda: ma $2/x$di cosa è esponente? Cioè, hai
$$\cos(\sqrt{x}^{2/x})$$
o, cosa più probabile
$$[\cos(\sqrt{x})]^{2/x}$$
??

[koloko]

La seconda. Comunque ho corretto la traccia rendendola più chiara

[ciampax]

Ok, anche perché nel primo caso la situazione sarebbe banale, non avendosi una forma indeterminata. Allora, le tue considerazioni sono errate. Puoi riscrivere la funzione a numeratore così
$$e\cdot\left(\cos\sqrt{x}\right)^{2/x}-1=e\cdot e^{2/x\cdot\log\cos(\sqrt{x})}-1=e^{1+\frac{2\log\cos(\sqrt{x})}{x}}-1$$
Ora, usando un po' di confronti locali puoi verificare che
$$\cos\sqrt{x}= 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}+o(x^2)$$
da cui
$$\log(\cos\sqrt{x})=\log\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}+o(x^2)\right)=-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}+o(x^2)-\frac{1}{2}\left(-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}+o(x^2)\right)^2+...=-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}+o(x^2)-\frac{x^2}{8}+o(x^2)=-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{12}+o(x^2)$$
e quindi
$$1+\frac{2\log(\cos(\sqrt{x}))}{x}=1+\frac{2}{x}\left(-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{12}+o(x^2)\right)=-\frac{x}{6}+o(x)$$
In definitiva
$$e^{1+\frac{2\log\cos(\sqrt{x})}{x}}-1\sim e^{-x/6}-1\sim 1-\frac{x}{/6}-1=-\frac{x}{6}$$
e pertanto il limite diventa
$$\lim_{x\to 0^+}\frac{-x/6}{x}=-\frac{1}{6}$$
che è il risultato cercato.

[koloko]

Bene, grazie mille