Limite $lim_(x\to\+-\infty)\sqrt(x^2+1)-x$

[BoG3]

Ciao, non mi torna una parte dell'esercizio:

$lim_(x\to\+-\infty)\sqrt(x^2+1)-x$
Parto con $lim_(x\to+\infty)\sqrt(x^2+1)-x=sqrt(x^2+1)-x*(sqrt(x^2+1)+x)/(sqrt(x^2+1)+x) = (x^2+1-x^2)/(sqrt(x^2+1)+x) = 1/(sqrt(x^2+1)+x)= 1/(x(sqrt(1+1/x^2)+1)) = 1/(+\infty(2)) = +0$

e questo è ok.

mA: $lim_(x\to-\infty)\sqrt(x^2+1)-x=sqrt(x^2+1)-x*(sqrt(x^2+1)+x)/(sqrt(x^2+1)+x) = (x^2+1-x^2)/(sqrt(x^2+1)+x) = 1/(sqrt(x^2+1)+x)= 1/(x(sqrt(1+1/x^2)+1)) = 1/(-\infty(2))$

...dovrebbe fare +infinito..dove ho sbagliato?

[BoG3]

Si, chiaro ma cio' che non capisco è perchè per $x\to-\infty$ non potevo seguire lo stesso ragionamento!?

Perchè questo ragionamento :

"BoG":
$ lim_(x\to-\infty)\sqrt(x^2+1)-x=sqrt(x^2+1)-x*(sqrt(x^2+1)+x)/(sqrt(x^2+1)+x) = (x^2+1-x^2)/(sqrt(x^2+1)+x) = 1/(sqrt(x^2+1)+x)= 1/(x(sqrt(1+1/x^2)+1)) = 1/(-\infty(2)) $

è sbagliato?

[gugo82]

@ BoG: Il denominatore in:
\[
\frac{1}{\sqrt{1+x^2} +x}
\]
è in forma indeterminata per \(x\to -\infty\).

Inoltre, dato che puoi assumere \(x<0\) (perché vuoi \(x\to -\infty\)), hai:
\[
\begin{split}
\sqrt{1+x^2} +x &= \sqrt{x^2\ \left( 1+\frac{1}{x^2}\right)} +x \\
&= |x|\ \sqrt{ 1+\frac{1}{x^2}} +x \\
&= -x\ \sqrt{ 1+\frac{1}{x^2}} +x \\
&= x\ \left( 1 - \sqrt{ 1+\frac{1}{x^2}}\right)
\end{split}
\]
che è ancora in forma indeterminata \(\infty \cdot 0\).

Questo mostra che fare passaggi "in automatico" (ed in maniera maldestra) non paga quando si svolgono esercizi di Matematica.


@ TeM: Non avevo visto la tua risposta. Scusa la sovrapposizione.

[BoG3]

tutto chiaro, grazie