Limite $lim_{n \to \infty}\frac{(n^(2n)-2n!+nlog(n))^((n^(2n))/(n!))}{n^(((2n)^(2n))/((n-1)!))}$
$lim_{n \to \infty}\frac{(n^(2n)-2n!+nlog(n))^((n^(2n))/(n!))}{n^(((2n)^(2n))/((n-1)!))}$
la mia idea è innanzitutto lavorare sull'esponente al numeratore:
$(n^(2n)) /(n!) = (n^(2n)) /(n(n-1)!) $
poi sempre al numeratore, il termine che va ad infinito più velocemente è $n^(2n)$, perciò rimarrebbe
$(n^(2n))^(( n^(2n) ) /( n(n-1)! ))=(n^(n))^((n^(2n)) /((n-1)!))$
quindi il limite diventerebbe
$lim_{n \to \infty}\frac{(n^(n))^((n^(2n)) /((n-1)!))}{n^(((2n)^(2n))/((n-1)!))}$
mi viene da pensare che ci deve essere il modo di portare gli esponenti fuori "tra parentesi" in maniera tale da tenere all'interno
$\frac{n^n}{n}$ ma non ne sono sicuro
la mia idea è innanzitutto lavorare sull'esponente al numeratore:
$(n^(2n)) /(n!) = (n^(2n)) /(n(n-1)!) $
poi sempre al numeratore, il termine che va ad infinito più velocemente è $n^(2n)$, perciò rimarrebbe
$(n^(2n))^(( n^(2n) ) /( n(n-1)! ))=(n^(n))^((n^(2n)) /((n-1)!))$
quindi il limite diventerebbe
$lim_{n \to \infty}\frac{(n^(n))^((n^(2n)) /((n-1)!))}{n^(((2n)^(2n))/((n-1)!))}$
mi viene da pensare che ci deve essere il modo di portare gli esponenti fuori "tra parentesi" in maniera tale da tenere all'interno
$\frac{n^n}{n}$ ma non ne sono sicuro
Risposte
Io direi che posto \(\displaystyle \varphi(n) = \frac{n^{2n}}{(n-1)!} \) hai che \(\displaystyle f(n) = \frac{\bigl(n^{2n} - 2n! + n\log(n)\bigr)^{\frac{\varphi(n)}{n}}}{n^{2^{2n}\varphi(n)}} \). Pertanto \(\displaystyle f(n) = \biggl[\frac{\sqrt[n]{n^{2n} - 2n! + n\log(n)}}{n^{2^{2n}}}\biggr]^{\varphi(n)} \)
Ho fatto così
$a=\frac{n^(2n)}{n(n-1)!}$
perciò la traccia diventa
$lim_{n \to \infty}\frac{((n^(2n)-2n!+nlog(n))^(1/n))^a}{n^(2a)}=$ (non mi viene la radice n-esima, sarebbe stato molto più leggibile)
$lim_{n \to \infty}\frac{(n^(2n)-2n!+nlog(n))^(1/n)}{n^(a)}$
Penso che il denominatore vada ad infinito molto più velocemente del numeratore, in quanto in quest'ultimo, il termine di grado più alto, $n^(2n)$, "semplificato" con $1/n$ diventerebbe $n^2$. Così facendo il limite della traccia dell'esercizio tende a zero.
Cosa ne pensate?
$a=\frac{n^(2n)}{n(n-1)!}$
perciò la traccia diventa
$lim_{n \to \infty}\frac{((n^(2n)-2n!+nlog(n))^(1/n))^a}{n^(2a)}=$ (non mi viene la radice n-esima, sarebbe stato molto più leggibile)
$lim_{n \to \infty}\frac{(n^(2n)-2n!+nlog(n))^(1/n)}{n^(a)}$
Penso che il denominatore vada ad infinito molto più velocemente del numeratore, in quanto in quest'ultimo, il termine di grado più alto, $n^(2n)$, "semplificato" con $1/n$ diventerebbe $n^2$. Così facendo il limite della traccia dell'esercizio tende a zero.
Cosa ne pensate?
Che continui a fare le semplificazioni nel modo sbagliato. In particolare sbagli le proprietà delle potenze. Risulta che \(\displaystyle a^nb^n = (ab)^n \) e \(\displaystyle \frac{a^n}{b^n} = \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^n \)
Risulta pertanto che
\(\displaystyle \frac{(2n)^{2n}}{(n-1)!} = \frac{2^{2n}n^{2n}}{(n-1)!} = 2^{2n} \frac{n^{2n}}{(n-1)!} \)
Il denominatore risulterà quindi \(\displaystyle \Bigl(n^{2^{2^n}}\Bigr)^{a} \) con \(\displaystyle a = \frac{n^{2n}}{(n-1)!} \) mentre il numeratore sarà \(\displaystyle (n^{2n} - \dotsb)^{\frac{a}{n}} \).
Quindi viene quello che ho scritto io, cioé
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \biggl(\frac{\sqrt[n]{n^{2n} + 2n! + n\log n}}{n^{2^{2^n}}}\biggr)^a \)
Ora, sostituisco il numeratore con il solo \(\displaystyle n^{2n} \) perché gli altri crescono in modo irrisorio rispetto a questo addendo. Ricavo pertanto che
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \biggl(\frac{n^2}{n^{2^{2^n}}}\biggr)^a = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{(2^{2^n}-1)a}} \)
Il cui risultato è evidente.
Risulta pertanto che
\(\displaystyle \frac{(2n)^{2n}}{(n-1)!} = \frac{2^{2n}n^{2n}}{(n-1)!} = 2^{2n} \frac{n^{2n}}{(n-1)!} \)
Il denominatore risulterà quindi \(\displaystyle \Bigl(n^{2^{2^n}}\Bigr)^{a} \) con \(\displaystyle a = \frac{n^{2n}}{(n-1)!} \) mentre il numeratore sarà \(\displaystyle (n^{2n} - \dotsb)^{\frac{a}{n}} \).
Quindi viene quello che ho scritto io, cioé
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \biggl(\frac{\sqrt[n]{n^{2n} + 2n! + n\log n}}{n^{2^{2^n}}}\biggr)^a \)
Ora, sostituisco il numeratore con il solo \(\displaystyle n^{2n} \) perché gli altri crescono in modo irrisorio rispetto a questo addendo. Ricavo pertanto che
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \biggl(\frac{n^2}{n^{2^{2^n}}}\biggr)^a = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{(2^{2^n}-1)a}} \)
Il cui risultato è evidente.
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