Limite $ lim_(n->oo) ((n!+log(2n))/(n!))^log(n)
$ lim_(n->oo) ((n!+log(2n))/(n!))^log(n)
mettendo in evidenza n!
$ lim_(n->oo) ((1+(log(2n))/(n!)))^log(n)
a questo punto posso dire che
$ lim_(n->oo)(log(2n))/(n!)=0
e quindi:
$ lim_(n->oo) ((1+(log(2n))/(n!)))^log(n)= lim_(n->oo) (1+0)^log(n)= lim_(n->oo) 1^log(n)=1
o in che altro modo potrei agire per togliere le indeterminazioni?
mettendo in evidenza n!
$ lim_(n->oo) ((1+(log(2n))/(n!)))^log(n)
a questo punto posso dire che
$ lim_(n->oo)(log(2n))/(n!)=0
e quindi:
$ lim_(n->oo) ((1+(log(2n))/(n!)))^log(n)= lim_(n->oo) (1+0)^log(n)= lim_(n->oo) 1^log(n)=1
o in che altro modo potrei agire per togliere le indeterminazioni?
Risposte
Sono d'accordo con la conclusione di Sergio, a mio avviso c'è solo una cosa da precisare:
Diciamo che la correzione al suo ragionamento c'è tutta, ma nella forma non corretta.
Infatti
$lim_(n to oo)1^log(n)$ non è una forma indeterminata, perché la successione
$y_n=1^(log(n)$ coincide con la succ. costante $a_n=1$, quindi converge a $1$ senza alcuna indeterminazione.
"Sergio":
Direi che quel modo è sbagliato, perché $lim_(n to oo)1^log(n)=1^oo$, che è una forma indeterminata.
Diciamo che la correzione al suo ragionamento c'è tutta, ma nella forma non corretta.
Infatti
$lim_(n to oo)1^log(n)$ non è una forma indeterminata, perché la successione
$y_n=1^(log(n)$ coincide con la succ. costante $a_n=1$, quindi converge a $1$ senza alcuna indeterminazione.
"Sergio":
Direi che quel modo è sbagliato, perché $lim_(n to oo)1^log(n)=1^oo$, che è una forma indeterminata.
Proverei piuttosto:
$lim_(n to oo)(1+log(2n)/(n!))^log(n)=lim_(n to oo)[(1+1/((n!)/log(2n)))^((n!)/log(2n))]^((log(n)log(2n))/(n!))=e^0=1$
Salvo (probabili) errori & omissioni.
sisi la dimostrazione e' senza dubbio questa mi sono ritrovato anche a risolvere un altro limite simile e ho trovato la soluzione con questo metodo grazie mille.
cmq l' altro limite era questo:
$lim_(n to oo)(2^-n+log(2^n)+2^n)/(3^-n+cos(n!)+2^(n+1))^n
$lim_(n to oo)((2^n)((2^-n)/2^n+log(2^n)/2^n+1))^n/((2^n+1)((3^-n)/2^(n+1)+cos(n!)/2^(n+1)+1))^n
$lim_(n to oo)(1((2^-n)/2^n+log(2^n)/2^n+1))^n/(2((3^-n)/2^(n+1)+cos(n!)/2^(n+1)+1))^n
$lim_(n to oo)((1+(1/((2^n)/((2^-n)+log(2^n)))))^(((2^n))/((2^-n)+log(2^n))))^((n((2^-n)+log(2^n)))/2^n)/(2(1+(1/((2^n+1)/((3^-n)+cos(n!))))))^(((2^n+1)/((3^-n)+cos(n!)))^(((n)((3^-n)+cos(n!)))/(2^n+1))
$=>lim_(n to oo)((1+(1/((2^n)/((2^-n)+log(2^n)))))^(((2^n))/((2^-n)+log(2^n))))->e
$=>lim_(n to oo)2(1+(1/((2^n+1)/((3^-n)+cos(n!)))))^(((2^n+1)/((3^-n)+cos(n!))))->2e
$=>lim_(n to oo)((n((2^-n)+log(2^n)))/2^n)->0
$=>lim_(n to oo)(((n)((3^-n)+cos(n!)))/(2^n+1))->0
$lim_(n to oo)(2^-n+log(2^n)+2^n)/(3^-n+cos(n!)+2^(n+1))^n=1/2
"Sergio":
Se fosse possibile dire che $(1+log(2n)/(n!))$ tende a $1+0$ e che quindi mi ritrovo con la successione $1^log(n)$
Secondo me è qua l'errore: non ti ritrovi con la successione $1^log(n)$, non è lecita questa sostituzione.
Io contesto solo la scrittura, l'espressione
$lim_(n to oo)1^log(n)=1^oo$ seguita da "è una forma indeterminata".
Infatti non vi è dubbio che
$lim_(n to oo)1^log(n)=1$
Forse il fraintendimento nasce dal fatto che $1^(+oo)$ è usato per indicare la forma indeterminata
$a_n^(b_n)$ con $b_n$ divergente a $+\oo$ e $a_n$ convergente a $1$.
Il punto è questo: quando dici "forma indeterminata $1^(+oo)$, $1$ non è PROPRIO $1$.
Spero di essermi spiegato e soprattutto di non aver detto sciocchezze.
Ciao.
"Steven":
[quote="Sergio"]
Se fosse possibile dire che $(1+log(2n)/(n!))$ tende a $1+0$ e che quindi mi ritrovo con la successione $1^log(n)$
Secondo me è qua l'errore: non ti ritrovi con la successione $1^log(n)$, non è lecita questa sostituzione.[/quote]
Infatti questa sostituzione è sbagliatissima.
Se fosse lecito procedere così, allora avremmo anche $(1+1/n)^n\to 1$...
"Steven":
Io contesto solo la scrittura, l'espressione
$lim_(n to oo)1^log(n)=1^oo$ seguita da "è una forma indeterminata".
Infatti non vi è dubbio che
$lim_(n to oo)1^log(n)=1$
Forse il fraintendimento nasce dal fatto che $1^(+oo)$ è usato per indicare la forma indeterminata
$a_n^(b_n)$ con $b_n$ divergente a $+\oo$ e $a_n$ convergente a $1$.
Il punto è questo: quando dici "forma indeterminata $1^(+oo)$, $1$ non è PROPRIO $1$.
Spero di essermi spiegato e soprattutto di non aver detto sciocchezze.
Ciao.
Non hai detto sciocchezze... Però ti si potrebbe obiettare che anche la successione di termine generale $a_n=1$ converge ad $1$.
Insomma, il discorso è che bisogna fare attenzione a ciò che si scrive.
Il problema è che molti non capiscono questo fatto: ad esempio mi sono sentito dire che la successione $1^n$ si presenta in forma indeterminata per $n\to oo$.
"Gugo82":
Non hai detto sciocchezze... Però ti si potrebbe obiettare che anche la successione di termine generale $a_n=1$ converge ad $1$.
Insomma, il discorso è che bisogna fare attenzione a ciò che si scrive.
Ciao Gugo.
Non afferro perché potrebbe crearmi problemi la successione $a_n=1$
"Gugo82":
Il problema è che molti non capiscono questo fatto: ad esempio mi sono sentito dire che la successione $1^n$ si presenta in forma indeterminata per $n\to oo$.
Sì appunto, è quello che volevo dire quando ho scritto
"Steven":
Io contesto solo la scrittura, l'espressione
$lim_(n to oo)1^log(n)=1^oo$ seguita da "è una forma indeterminata".
Infatti non vi è dubbio che
$lim_(n to oo)1^log(n)=1$
Sì Sergio, sono d'accordissimo con il tuo ultimo post.
Il mio piccolo appunto era riferito solo ad una frase del tuo primo post.
Per capirci: sei d'accordo che
$lim_(n to oo)1^log(n)=1$ (e basta, senza fare conti)
e non, come avevi scritto inizialmente
?
Se sei d'accordo, non c'è più niente da eccepire..
Altrimenti ne discutiamo.
Il mio piccolo appunto era riferito solo ad una frase del tuo primo post.
Per capirci: sei d'accordo che
$lim_(n to oo)1^log(n)=1$ (e basta, senza fare conti)
e non, come avevi scritto inizialmente
"Sergio":
[...] $lim_(n to oo)1^log(n)=1^oo$, che è una forma indeterminata.
?
Se sei d'accordo, non c'è più niente da eccepire..
Altrimenti ne discutiamo.
"Steven":
[quote="Gugo82"]
Non hai detto sciocchezze... Però ti si potrebbe obiettare che anche la successione di termine generale $a_n=1$ converge ad $1$.
Insomma, il discorso è che bisogna fare attenzione a ciò che si scrive.
Ciao Gugo.
Non afferro perché potrebbe crearmi problemi la successione $a_n=1$.[/quote]
Qui:
"Steven":
Forse il fraintendimento nasce dal fatto che $1^(+oo)$ è usato per indicare la forma indeterminata
$a_n^(b_n)$ con $b_n$ divergente a $+\oo$ e $a_n$ convergente a $1$.
non hai messo restrizioni sul modo in cui $a_n\to 1$, quindi anche una successione del tipo $1^n$ (quindi con $a_n=1,\ b_n=n$) si presenterebbe in forma indeterminata secondo la definizione...
Ma sono questioni di puntiglio e (circa) di nessuna importanza.
L'importante è riflettere bene su ciò che si ha davanti.
Ah perfetto, ora ho capito.
Grazie
Grazie
e risolverlo così:
$lim_(n to oo)(1+log(2n)/(n!))^log(n)= lim_(n to oo)e^(log(n)log(1+(log(2n))/(n!)))$ ecc. ecc.
$lim_(n to oo)(1+log(2n)/(n!))^log(n)= lim_(n to oo)e^(log(n)log(1+(log(2n))/(n!)))$ ecc. ecc.
Beh, è più o meno la stessa cosa... Solo che così fai un po' più passaggi.
Però una volta che sai applicare il limite notevole che definisce $"e"$, quella scelta da Sergio mi pare la via più semplice.
Però una volta che sai applicare il limite notevole che definisce $"e"$, quella scelta da Sergio mi pare la via più semplice.
Ma figurati Sergio, è un piacere quando posso.
Ciao!
Ciao!
secondo me
$lim_(n to oo)1^log(n)$
è una forma indeterminata
che si risolve con la considerazione che fa 1
così come si fa con le altre forme indeterminate solo che in questo caso la considerazione è più semplice
il concetto di forma indeterminata dipende da come si vuole vedere la successione
$lim_(n to oo)1^log(n)$
è una forma indeterminata
che si risolve con la considerazione che fa 1
così come si fa con le altre forme indeterminate solo che in questo caso la considerazione è più semplice
il concetto di forma indeterminata dipende da come si vuole vedere la successione
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