Limite irrisolvibile?
salve ragazzi, mi trovo di fronte a questo limite: $\lim_{x \to \0}(x+arctgx)^(1/logx)$
Verificando con DERIVE risulta che tale limite non si può determinare, ma a me risulta $e^1$, che per giunta non so neanche se ho eseguito correttamente i calcoli dato che calcolo tre volte l'Hopital. Qualcuno può dirmi se il passaggio finale è: $(2+x^2+2x^3)/(2x^3+2xarctagx+2+x^2)$ quindi per x-->0 risulta $2/2$.
Grazie a chiunque dedicare un pò di tempo a me
Verificando con DERIVE risulta che tale limite non si può determinare, ma a me risulta $e^1$, che per giunta non so neanche se ho eseguito correttamente i calcoli dato che calcolo tre volte l'Hopital. Qualcuno può dirmi se il passaggio finale è: $(2+x^2+2x^3)/(2x^3+2xarctagx+2+x^2)$ quindi per x-->0 risulta $2/2$.
Grazie a chiunque dedicare un pò di tempo a me
Risposte
Il limite si presenta in una forma indeterminata del tipo $ 0^0 $, sicchè il limite si può riscrivere come segue
$ \lim_{x \to 0} e^{1/ln(x)*ln(x+arctan(x))} $. Quindi si studia il limite (come sempre) $ \lim_{x \to 0} 1/ln(x)*ln(x+arctan(x)) $. Ora, si nota prima di tutto che è possibile applicare un limite notevole all'$ arctan(x) $, da cui il limite diventa
$ \lim_{x \to 0} ln(2x)/ln(x) $. Ora adopera le proprietà dei logaritmi e hai trovato la soluzione, che è proprio $e$.
$ \lim_{x \to 0} e^{1/ln(x)*ln(x+arctan(x))} $. Quindi si studia il limite (come sempre) $ \lim_{x \to 0} 1/ln(x)*ln(x+arctan(x)) $. Ora, si nota prima di tutto che è possibile applicare un limite notevole all'$ arctan(x) $, da cui il limite diventa
$ \lim_{x \to 0} ln(2x)/ln(x) $. Ora adopera le proprietà dei logaritmi e hai trovato la soluzione, che è proprio $e$.
Guarda, il limite esiste se limite destro e limite sinistro sono uguali. Dato che per $x<0$ il logaritmo non è definito, non si può parlare di limite per $x \to 0^-$, quindi secondo me il limite non esiste. Per questo Derive dice che non lo sa calcolare.
Per la risoluzione (direi nell'ipotesi che $x \to 0^+$) vedo che ha provveduto Aliseo.
Paola
Per la risoluzione (direi nell'ipotesi che $x \to 0^+$) vedo che ha provveduto Aliseo.
Paola
Scusami non la conosco la proprietà per cui $x+arctgx$ diventa $2x$, puoi spiegarmela?
ha usato il limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{arctanx}{x} =1$.
Paola
Paola
Grazie 1000
Avrei alcune obiezioni "metodologiche" a quanto detto nei post precedenti, pur confermando che il risultato e' giusto.
1) Andando a leggere la definizione di limite (che ritengo standard) non mi sentire i di dire che il limite esiste se e solo se esistono
coincidenti il limite destro e quello sinistro. Secondo me nel caso in esame il limite esiste e coincide con il limite destro (ma non facciamo guerre
su questo )
2) e' vero che $\arctan(x)/x\to 1$ ma questo non autorizza SEMPRE a sostiture $arctan(x)$ con $x$. Se lo so fa si va in cerca di guai (soprattutto nei compiti di analisi
)
Un modo corretto di procedere e' di scrivere $arctan(x)=x+o(x)$ e portarsi dietro l'o piccolo, che in questo caso si neutralizza abbastanza facilmente:
$\ln(x+\arctan(x))=\ln(2x+o(x))=\ln(2x(1+o(1))=\ln(2x)+\ln(1+o(1))=\ln(2x)+o(1)$
1) Andando a leggere la definizione di limite (che ritengo standard) non mi sentire i di dire che il limite esiste se e solo se esistono
coincidenti il limite destro e quello sinistro. Secondo me nel caso in esame il limite esiste e coincide con il limite destro (ma non facciamo guerre
su questo )
2) e' vero che $\arctan(x)/x\to 1$ ma questo non autorizza SEMPRE a sostiture $arctan(x)$ con $x$. Se lo so fa si va in cerca di guai (soprattutto nei compiti di analisi
)Un modo corretto di procedere e' di scrivere $arctan(x)=x+o(x)$ e portarsi dietro l'o piccolo, che in questo caso si neutralizza abbastanza facilmente:
$\ln(x+\arctan(x))=\ln(2x+o(x))=\ln(2x(1+o(1))=\ln(2x)+\ln(1+o(1))=\ln(2x)+o(1)$
Per lello.1988
Se non vuoi invischiarti negli o-piccoli puoi anche usare de l'Hospital, una volta arrivato al limite di $\frac{\ln(x+arctan(x))}{\ln(x)}$ (seguendo il giusto consiglio di Aliseo).
Se non vuoi invischiarti negli o-piccoli puoi anche usare de l'Hospital, una volta arrivato al limite di $\frac{\ln(x+arctan(x))}{\ln(x)}$ (seguendo il giusto consiglio di Aliseo).
Oppure si può scrivere:
$ln(x+arctgx)=ln[x*(1+(arctgx)/x)]=lnx+ln(1+(arctgx)/x)$
che mi pare la strada più semplice.
$ln(x+arctgx)=ln[x*(1+(arctgx)/x)]=lnx+ln(1+(arctgx)/x)$
che mi pare la strada più semplice.
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