Limite irrisolto (help!)

[fifty_50]

Salve a tutti,
sono alle prese con questo limite che va risolto con i limiti notevoli e il cui risultato è $ 2/81 $

$ lim_(x -> 0) (tg^2(x)-(sin^2(2x))/4)/ sin^4(3x) $

applicando i limiti notevoli il numeratore si annulla e mi ricompare la forma indeterminata 0/0
A quel punto non riesco proprio ad andare avanti, le ho provate tutte (confronti tra infinitesimi, teorema di de l'Hopital )ma niente.
Spero possiate aiutarmi,
grazie a chi risponderá

[fifty_50]

Non c'è nessuno che puó aiutarmi?

[anto_zoolander]

allora..
considera che grazie a tutte le relazioni tra i vari pezzi goniometrici, in qualche modo ci si riesce a barcamenare.
Ad esempio vedere tutti questi esponenti pari mi fa pensare subito a manipolare $sin$ e $cos$ più che $tan$

$lim_(x->0)(tg^2(x)-(sin^2(2x))/4)/ sin^4(3x) = lim_(x->0)(sin^2x/cos^2x-(sin^2(2x))/4)/ sin^4(3x)$

raccogli un po di schifezze

$lim_(x->0)(4sin^2x-cos^2(x)sin^2(2x))/(4cos^2xsin^4(3x))$ nota che $sin^2(2x)=4sin^2xcos^2x$

$lim_(x->0)(4sin^2x-4cos^4(x)sin^2x)/(4cos^2xsin^4(3x))=lim_(x->0)(sin^2x(1-cos^4(x)))/(cos^2xsin^4(3x))$

ci siamo quasi... basta rimaneggiare un attimo il $cos$

$lim_(x->0)(sin^2x(1-cos^2x)(1+cos^2x))/(cos^2xsin^4(3x))=lim_(x->0)(sin^4x(1+cos^2x))/(cos^2xsin^4(3x))$

intanto grazie al prodotto dei limiti possiamo disfarci di $lim_(x->0)(1+cos^2x)/cos^2x=2$

$2lim_(x->0)(sin^4x)/(sin^4(3x))=2lim_(x->0)(sin^4x)/(81x^4)*(81x^4)/(sin^4(3x))$

$sin^4x/x^4$ tende a $1$ quindi ce ne liberiamo. Nota che $81=3^4$

$2/81lim_(x->0)((3x)/sin(3x))^4=2/81$ come volevasi dimostrare.

se avessi bisogno di chiarimenti chiedi.