Limite interessante
Ciao a tutti!
Ho trovato su dei fogli di esercizi questo interessante limite:
$\lim_{m \to +\infty}[\lim_{n \to +\infty} cos^(2n)(m!\pi x)]$
dove $x\in RR$ è una costante. In teoria gli strumenti da utilizzare sono quelli di Analisi 1.
Insieme con l'esercizio veniva dato un hint: distinguere i casi x razionale e x irrazionale.
Credo di aver risolto il limite nel caso razionale, mentre non riesco a procedere nel caso irrazionale. E in ogni caso ho dei seri dubbi anche sul primo caso.
Spiego meglio le mie difficoltà: sia x razionale. Allora posso scrivere $x=p/q$ con p e q interi ($q \ne 0$). Dal momento che mi interessa il comportamento del limite per $m \to +\infty$ mi è lecito supporre $m>q+2$; in questo modo il denominatore della frazione si semplifica e l'argomento del coseno diventa della forma $2k\pi$ con $k$ opportuna; in altre parole la successione risulta essere definitivamente uguale a $1$; calcolando poi in seguito il limite per $n\to +\infty$, trovo ancora $1$. Il mio dubbio è questo: ho invertito l'ordine di calcolo dei limiti; si tratta di un'operazione lecita? Posso fare una cosa simile? Perché non ho mai trovato dei limiti "doppi", non so bene come comportarmi (e l'intuizione mi dice che si tratta di un'operazione illegittima).
Per quanto riguarda il caso irrazionale, invece, ho pensato (anche se non ho prove a sostegno della mia tesi) che il limite non esistesse. Pensando ad una cosa del genere, ho cercato di estrarre due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi, ma senza grandi risultati...
Qualcuno di voi mi saprebbe dare dei consigli?
Ho trovato su dei fogli di esercizi questo interessante limite:
$\lim_{m \to +\infty}[\lim_{n \to +\infty} cos^(2n)(m!\pi x)]$
dove $x\in RR$ è una costante. In teoria gli strumenti da utilizzare sono quelli di Analisi 1.
Insieme con l'esercizio veniva dato un hint: distinguere i casi x razionale e x irrazionale.
Credo di aver risolto il limite nel caso razionale, mentre non riesco a procedere nel caso irrazionale. E in ogni caso ho dei seri dubbi anche sul primo caso.
Spiego meglio le mie difficoltà: sia x razionale. Allora posso scrivere $x=p/q$ con p e q interi ($q \ne 0$). Dal momento che mi interessa il comportamento del limite per $m \to +\infty$ mi è lecito supporre $m>q+2$; in questo modo il denominatore della frazione si semplifica e l'argomento del coseno diventa della forma $2k\pi$ con $k$ opportuna; in altre parole la successione risulta essere definitivamente uguale a $1$; calcolando poi in seguito il limite per $n\to +\infty$, trovo ancora $1$. Il mio dubbio è questo: ho invertito l'ordine di calcolo dei limiti; si tratta di un'operazione lecita? Posso fare una cosa simile? Perché non ho mai trovato dei limiti "doppi", non so bene come comportarmi (e l'intuizione mi dice che si tratta di un'operazione illegittima).
Per quanto riguarda il caso irrazionale, invece, ho pensato (anche se non ho prove a sostegno della mia tesi) che il limite non esistesse. Pensando ad una cosa del genere, ho cercato di estrarre due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi, ma senza grandi risultati...
Qualcuno di voi mi saprebbe dare dei consigli?
Risposte
davvero interessante! ......e davvero complicato!!!
Nel tuo procedimento c'è qualcosa che non mi torna.......l'argomento del cos contiene m! = m * (m-1) * .... * 2 * 1 ??
Per quanto riguarda i limiti doppi, li puoi scambiare solo se esiste il limite (chiamiamolo simultaneo, cioè quando mandi contemporaneamente $m,n \rarr \infty$).
Un esempio per spiegarmi meglio può essere dato da
$a_(n,m) = 1 - m/n$
che non ammette limite per $m,n \rarr \infty$, infatti come controprova hai che
$lim_{m \rarr \infty} [ lim_{n \rarr \infty} a_(n,m) ] = lim_{m \rarr \infty} 1 = 1 $
mentre
$lim_{n \rarr \infty} [ lim_{m \rarr \infty} a_(n,m) ] = lim_{n \rarr \infty} - \infty = - \infty $
Nel tuo procedimento c'è qualcosa che non mi torna.......l'argomento del cos contiene m! = m * (m-1) * .... * 2 * 1 ??
Per quanto riguarda i limiti doppi, li puoi scambiare solo se esiste il limite (chiamiamolo simultaneo, cioè quando mandi contemporaneamente $m,n \rarr \infty$).
Un esempio per spiegarmi meglio può essere dato da
$a_(n,m) = 1 - m/n$
che non ammette limite per $m,n \rarr \infty$, infatti come controprova hai che
$lim_{m \rarr \infty} [ lim_{n \rarr \infty} a_(n,m) ] = lim_{m \rarr \infty} 1 = 1 $
mentre
$lim_{n \rarr \infty} [ lim_{m \rarr \infty} a_(n,m) ] = lim_{n \rarr \infty} - \infty = - \infty $
Sì, nell'argomento del coseno compare il fattoriale di m.
Credo di aver capito quello che dici sui limiti doppi (è un "solo se" oppure un "se e solo se"?). Beh, direi che mandando $m$ e $n$ all'infinito contemporaneamente, la mia argomentazione, nel caso razionale regge ancora, a meno che non mi sfugga qualcosa.
Invece nel caso irrazionale avevo pensato di far vedere che esistono infiniti valori maggiori di un certo $h$ tale che $0
Credo di aver capito quello che dici sui limiti doppi (è un "solo se" oppure un "se e solo se"?). Beh, direi che mandando $m$ e $n$ all'infinito contemporaneamente, la mia argomentazione, nel caso razionale regge ancora, a meno che non mi sfugga qualcosa.
Invece nel caso irrazionale avevo pensato di far vedere che esistono infiniti valori maggiori di un certo $h$ tale che $0
Non ho capito molto bene come hai impostato il ragionamento per il caso irrazionale, se ti va di essere più preciso lo leggo con piacere......da parte mia esprimo un diplomatico "work in progress"....
E a dirla tutta.....per la parte razionale ho capito il ragionamento che ci sta sotto ma non mi sembra che tu l'abbia dimostrato...se ti interessa ti dico come farei.
E a dirla tutta.....per la parte razionale ho capito il ragionamento che ci sta sotto ma non mi sembra che tu l'abbia dimostrato...se ti interessa ti dico come farei.
Per il caso irrazionale non posso essere più preciso perché non so nulla. La mia era solo un'ipotesi; provo a spiegare meglio la tecnica che avrei voluto seguire. Se riuscissi a dimostrare che la successione $a_(n,m)=cos^(2n)(m!\pi x)$ è per infiniti valori di m ed n soggetta ad una limitazione del tipo $0
Per la parte razionale, provo invece a formalizzare un po' meglio: allora voglio calcolare il limite "simultaneo" $\lim_{m \to +\infty}[\lim_{n \to +\infty} cos^(2n)(m! \pi x)$ supponendo che $x=p/q$ con p e q interi. Dal momento che $m \to +\infty$, sto lavorando in un intorno di più infinito e dunque posso supporre $m>=q+2$. Allora si ha $cos(m! \pi x)=cos(m*(m-1)*...*(q+2)*(q+1)*q*...2*1*p/q*\pi)$. A questo punto dentro le parentesi si semplificano i q e dunque mi rimane un intero moltiplicato per $\pi$. Inoltre, ho supposto $m>=q+2$, per cui o $q+2$ o $q+1$ sono pari (ma è superflua la richiesta, perché mi rendo conto solo ora che tanto il $2$ non si cancella...); quindi l'intero è in realtà un numero pari e di conseguenza l'argomento del coseno si può riscrivere sotto forma di $cos(2k\pi)$ con $k$ opportunamente preso (e soprattutto per ogni $m>=q+2$). Ma quell'espressione è identicamente uguale a $1$ e quindi segue la tesi.
Cosa c'è che non funziona secondo te? Tu come lo faresti?
Per la parte razionale, provo invece a formalizzare un po' meglio: allora voglio calcolare il limite "simultaneo" $\lim_{m \to +\infty}[\lim_{n \to +\infty} cos^(2n)(m! \pi x)$ supponendo che $x=p/q$ con p e q interi. Dal momento che $m \to +\infty$, sto lavorando in un intorno di più infinito e dunque posso supporre $m>=q+2$. Allora si ha $cos(m! \pi x)=cos(m*(m-1)*...*(q+2)*(q+1)*q*...2*1*p/q*\pi)$. A questo punto dentro le parentesi si semplificano i q e dunque mi rimane un intero moltiplicato per $\pi$. Inoltre, ho supposto $m>=q+2$, per cui o $q+2$ o $q+1$ sono pari (ma è superflua la richiesta, perché mi rendo conto solo ora che tanto il $2$ non si cancella...); quindi l'intero è in realtà un numero pari e di conseguenza l'argomento del coseno si può riscrivere sotto forma di $cos(2k\pi)$ con $k$ opportunamente preso (e soprattutto per ogni $m>=q+2$). Ma quell'espressione è identicamente uguale a $1$ e quindi segue la tesi.
Cosa c'è che non funziona secondo te? Tu come lo faresti?
La parte per i razionali funziona benissimo. Non avevo capito cosa intendevi prima....
Forse per gli irrazionali possiamo limitarci ad osservare che non esiste il limite
$lim_{x->\infty} cos x$
però mi sa che non basta....
BOH.........
Adesso ci rifletto.
Forse per gli irrazionali possiamo limitarci ad osservare che non esiste il limite
$lim_{x->\infty} cos x$
però mi sa che non basta....
BOH.........
Adesso ci rifletto.
èAllora riporto in vita questo topic perché ho avuto un'idea per andare avanti nel caso irrazionale...
Per il caso razionale ribadisco quanto detto nei post precedenti. Se invece $x\notin QQ$, allora si ha: $cos(m! pi x)=cos(m! pi x - m! pi [x])$; infatti m! è un numero pari per ogni $m>=2$ e [x] (parte intera di x) è un intero. Allora, per ogni m, si ha, indicando con (y) la parte decimale di un numero:
$cos(m! pi x) = cos((m! x) pi)$, che è un numero strettamente compreso tra -1 e 1. Allora, sfruttando il fatto che l'esercizio chiede di far tendere prima n e poi m, ottengo:
$lim_{m\to+\infty} lim_{n \to +\infty} cos^(2n)(m! pi x)=lim_{m\to+\infty} lim_{n \to +\infty} [cos^2((m! x) pi)]^n=0$ perché per ogni $m>=2$ si ha $0
EDIT: errore di battitura in latex... ora ho corretto!
Per il caso razionale ribadisco quanto detto nei post precedenti. Se invece $x\notin QQ$, allora si ha: $cos(m! pi x)=cos(m! pi x - m! pi [x])$; infatti m! è un numero pari per ogni $m>=2$ e [x] (parte intera di x) è un intero. Allora, per ogni m, si ha, indicando con (y) la parte decimale di un numero:
$cos(m! pi x) = cos((m! x) pi)$, che è un numero strettamente compreso tra -1 e 1. Allora, sfruttando il fatto che l'esercizio chiede di far tendere prima n e poi m, ottengo:
$lim_{m\to+\infty} lim_{n \to +\infty} cos^(2n)(m! pi x)=lim_{m\to+\infty} lim_{n \to +\infty} [cos^2((m! x) pi)]^n=0$ perché per ogni $m>=2$ si ha $0
EDIT: errore di battitura in latex... ora ho corretto!
Ah, io non posso spostare questo topic, vero? So che è la sezione sbagliata ormai... al massimo potrebbe farlo qualche moderatore per me? Grazie...
Grazie di averlo spostato....
Se ti può interessare, quel limite è proposto come esempio nel libro Principi di analisi matematica di W.Rudin. E' molto interessante perché partendo da una funzione continua (e anzi $C^infty$), in particolare una funzione integrabile secondo Riemann, passando al limite arrivi alla fine ad una famosa schifezza che non è continua, non è $C^infty$, non è nemmeno integrabile e sembra fatta apposta per creare problemi.
Sì, in effetti ho riconosciuto in fondo la funzione di Dirichlet...
Io lo ho trovato sugli esercizi preparatori ad analisi 1 del prof. Giancarlo Mauceri di Genova...
Posso quindi concludere che il mio ragionamento è corretto?
Io lo ho trovato sugli esercizi preparatori ad analisi 1 del prof. Giancarlo Mauceri di Genova...
Posso quindi concludere che il mio ragionamento è corretto?
Hmmm... il risultato è corretto. Ma leggo una cosa che non è vera, si tratta di questo:
No. Non è un passaggio corretto (non amo molto il termine lecito, parlando di matematica, quindi non lo uso
). E fabbrichiamo subito un esempio facile. Consideriamo la "successione doppia" $a_(m, n)=m/n$. Fabbrichiamo una tabella con qualche valore (prendiamo $m$ come indice di riga, ed $n$ come indice di colonna):
${(1, 1/2, 1/3,1/4,...), (2, 1, 2/3, 1/2,...), (3, 3/2, 1, 3/4,...), (vdots,vdots,vdots,vdots,):}$.
Non si può invertire l'ordine dei limiti, come vedi. Immagina di tenere fermo l'indice di riga e di fare scorrere all'infinito l'indice di colonna (i.e. calcola prima il limite rispetto ad $n$): ottieni evidentemente 0. Ora fai tendere $m$ ad infinito e otterrai ancora 0.
Ora fai il contrario. Tieni fermo l'indice di colonna e fai scorrere all'infinito l'indice di riga (i.e. fai prima il limite rispetto ad $m$). Si vede benissimo cosa succede se pensi alla prima colonna: ottieni $+infty$. E se fai tendere $n$ ad infinito otterrai ancora $+infty$. Un risultato diverso.
Questo fatto di invertire l'ordine dei limiti è un argomento delicato, e in generale non funziona.
Quindi, per calcolare il nostro limite è meglio procedere nell'ordine giusto: prima $n$ poi $m$. Ti aiuta scrivere la funzione in questa maniera: $[cos(m!pix)]^(2n)$. Tieni presente che al tendere di $n$ all'infinito, questo fa zero per "quasi" tutte le $x$ (infatti sai benissimo che $(alpha)^n\to 0$ se $|alpha|<1$). Forse è più facile se scrivi $a_m(x)=cos(m!pix)$. Allora devi calcolare $lim_{n\toinfty}[a_m(x)]^(2n)$. Ma per quali $x$ questo limite non fa zero?
Il mio dubbio è questo: ho invertito l'ordine di calcolo dei limiti; si tratta di un'operazione lecita?
No. Non è un passaggio corretto (non amo molto il termine lecito, parlando di matematica, quindi non lo uso
). E fabbrichiamo subito un esempio facile. Consideriamo la "successione doppia" $a_(m, n)=m/n$. Fabbrichiamo una tabella con qualche valore (prendiamo $m$ come indice di riga, ed $n$ come indice di colonna): ${(1, 1/2, 1/3,1/4,...), (2, 1, 2/3, 1/2,...), (3, 3/2, 1, 3/4,...), (vdots,vdots,vdots,vdots,):}$.
Non si può invertire l'ordine dei limiti, come vedi. Immagina di tenere fermo l'indice di riga e di fare scorrere all'infinito l'indice di colonna (i.e. calcola prima il limite rispetto ad $n$): ottieni evidentemente 0. Ora fai tendere $m$ ad infinito e otterrai ancora 0.
Ora fai il contrario. Tieni fermo l'indice di colonna e fai scorrere all'infinito l'indice di riga (i.e. fai prima il limite rispetto ad $m$). Si vede benissimo cosa succede se pensi alla prima colonna: ottieni $+infty$. E se fai tendere $n$ ad infinito otterrai ancora $+infty$. Un risultato diverso.
Questo fatto di invertire l'ordine dei limiti è un argomento delicato, e in generale non funziona.
Quindi, per calcolare il nostro limite è meglio procedere nell'ordine giusto: prima $n$ poi $m$. Ti aiuta scrivere la funzione in questa maniera: $[cos(m!pix)]^(2n)$. Tieni presente che al tendere di $n$ all'infinito, questo fa zero per "quasi" tutte le $x$ (infatti sai benissimo che $(alpha)^n\to 0$ se $|alpha|<1$). Forse è più facile se scrivi $a_m(x)=cos(m!pix)$. Allora devi calcolare $lim_{n\toinfty}[a_m(x)]^(2n)$. Ma per quali $x$ questo limite non fa zero?
Per le $x$ razionali il limite dovrebbe fare 1. Ma infatti, dubbioso su quel procedimento, ne avevo adottato un altro, qualche post più sotto... L'idea di fondo è questa: dal momento che comunque m va (o andrà) a più infinito, posso supporlo "abbastanza grande". Quindi, se x è razionale, cioè se $x=p/q$, scegliendo m grande a sufficienza, il denominatore si semplifica e mi rimane un numero pari moltiplicato per $pi$ e dunque $a_m(x)$ varrebbe definitivamente 1, da cui segue il risultato. Questo ragionamento è comunque in generale scorretto? Perché, di fatto, non faccio tendere m a $+\infty$, mi limito a fissarlo grande a sufficienza...
No no, non solo non è scorretto ma anzi è esattamente quello a cui stavo pensando io. E adesso rileggendo più a fondo vedo che va tutto bene (almeno per le $x$ razionali). Il fatto è che se tu dici "posso scambiare l'ordine dei limiti?", a me suona subito un campanello d'allarme e parto in quarta con la lezioncina sul problema di scambiare i limiti.
Spero di esserti stato utile comunque.
Va bene, allora siamo arrivati a dimostrare che per le $x$ razionali $lim_{m\toinfty}lim_{n\toinfty}[cos(m!pix)]^(2n)=1$. E per le $x$ irrazionali? In quel caso, no matter what, il limite rispetto ad $n$ fa zero. E questo sinceramente non ho capito come hai fatto per dimostrarlo, ma in ogni caso si può fare in maniera parecchio più semplice. Basta risolvere(*) le due equazioni $cos(m!pix)=+-1$.
P.S.: Qui (*) intendo dire "risolvere rispetto ad $m$" non rispetto ad $x$ che consideriamo un numero irrazionale fissato.
Spero di esserti stato utile comunque.
Va bene, allora siamo arrivati a dimostrare che per le $x$ razionali $lim_{m\toinfty}lim_{n\toinfty}[cos(m!pix)]^(2n)=1$. E per le $x$ irrazionali? In quel caso, no matter what, il limite rispetto ad $n$ fa zero. E questo sinceramente non ho capito come hai fatto per dimostrarlo, ma in ogni caso si può fare in maniera parecchio più semplice. Basta risolvere(*) le due equazioni $cos(m!pix)=+-1$.
P.S.: Qui (*) intendo dire "risolvere rispetto ad $m$" non rispetto ad $x$ che consideriamo un numero irrazionale fissato.
Ho aggiunto un P.S. al mio ultimo post.
Suggerimento che ho scordato di scrivere prima: il prodotto di un numero irrazionale per un numero intero può mai essere un numero razionale?
Sì, è chiaro. Lo ho dato per scontato nell'ultimo post: per il resto non è nulla di difficile, anzi è come mi sembra di capire che suggerisci tu di procedere. Considero m fissato ed osservo che deve per forza essere $-1
Esatto! E questo chiude il discorso. Complimenti: questo non è un esercizio facile. Inoltre si porta appresso tutta una serie di considerazioni sui limiti "doppi", argomento molto interessante e non banale. A me piace molto.
Colgo l'occasione per scusarmi anche con alle.fabbri per avergli plagiato (involontariamente) un esempio! Non avevo seguito questo topic dalla nascita, e di conseguenza i primi post li ho letti con scarsa attenzione. I risultati si sono visti !
Colgo l'occasione per scusarmi anche con alle.fabbri per avergli plagiato (involontariamente) un esempio! Non avevo seguito questo topic dalla nascita, e di conseguenza i primi post li ho letti con scarsa attenzione. I risultati si sono visti
!
Grazie dissonance, dei complimenti e del tempo che mi hai dedicato...
Ci ho messo un bel po', in effetti, a risolverlo, questo esercizio...
Ci ho messo un bel po', in effetti, a risolverlo, questo esercizio...
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Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
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