Limite interessante...

[fu^2]

ho una soluzione, però non mi piace,

in generale mi sembra interessante questo limite:

calcolare

$lim_(nto+oo)(n^n/(n!))^(1/n)

bello nè?

[Piera4]

Per un teorema di Cesaro
$lim_(n->+infty)(a_n)^(1/n)=lim_(n->+infty)(a_(n+1))/(a_n)$ se il secondo limite esiste.
Applicando questo risultato si ottiene $e$.

[fu^2]

potresti citarmi il teorema?

non lo conosco

grazie..

ciaoo

[Piera4]

Teorema di Cesaro
Se la successione $(a_n)$ ammette limite, allora
$lim_(n->+infty)(a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)=lim_(n->+infty)a_n$.

Corollario
Se la successione $(c_n)$ ammette limite, allora
$lim_(n->+infty)(c_n)^(1/n)=lim_(n->+infty)c_(n+1)/(c_n)$.
Per dimostrarlo basta porre nel teorema precedente $c_n=a_1*a_2*...*a_n$
e osservare che $a_(n+1)=(c_(n+1))/c_n$.

[Matteos86]

"fu^2":ho una soluzione, però non mi piace,

in generale mi sembra interessante questo limite:

calcolare

$lim_(nto+oo)(n^n/(n!))^(1/n)

bello nè?

[fu^2]

"Piera":Teorema di Cesaro
Se la successione $(a_n)$ ammette limite, allora
$lim_(n->+infty)(a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)=lim_(n->+infty)a_n$.

Corollario
Se la successione $(c_n)$ ammette limite, allora
$lim_(n->+infty)(c_n)^(1/n)=lim_(n->+infty)c_(n+1)/(c_n)$.
Per dimostrarlo basta porre nel teorema precedente $c_n=a_1*a_2*...*a_n$
e osservare che $a_(n+1)=(c_(n+1))/c_n$.

interessante... grazie mille piera!

[fu^2]

"Piera":Teorema di Cesaro
Se la successione $(a_n)$ ammette limite, allora
$lim_(n->+infty)(a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)=lim_(n->+infty)a_n$.

Corollario
Se la successione $(c_n)$ ammette limite, allora
$lim_(n->+infty)(c_n)^(1/n)=lim_(n->+infty)c_(n+1)/(c_n)$.
Per dimostrarlo basta porre nel teorema precedente $c_n=a_1*a_2*...*a_n$
e osservare che $a_(n+1)=(c_(n+1))/c_n$.

ho ripreso in mano questo post perchè mi è venuta in mente una curiosità:

dove potrei trovare la dimostyrazione del teorema di casaro?
in quanto su internet non riesco a trovarla..

grazie

[giuseppe87x]

Nei libri di analisi I di solito si trova.
Ricordo però che è un pò laboriosa.