Limite integrale
Buonsera a tutti, scrivo per avere un parere sulla risoluzione di questo esercizio:
Sia $h_n(x)=e^{-n \, arctan(n) (x-n)^2}$, trovare per quali $\alpha \in R$ esiste finito \[lim_{n \rightarrow \inf} \int_0^n x^{\alpha}h_n(x) \. dx \]
Ho inizialmente provato con i vari teoremi di Beppe Levi e convergenza dominata con scarso successo. Poi ho provato a fare delle stime dell'area. Essendo una gaussiana a modulata da $x^{\alpha}$ per $ \alpha \geq 0$, essendo $\sqrt{\frac{pi}{2narctan(n)}$ l'area della gaussiana
\[\int_0^n x^{\alpha}h_n(x) dx \leq n^{\alpha} \sqrt{\frac{pi}{2narctan(n)}} \approx n^{\alpha -\frac{1}{2}} \rightarrow_{n \rightarrow \inf} 0 \]
Se $0< \alpha < \frac{1}{2}$ e minore di 1 se $\alpha = \frac{1}{2}$.
Per $\alpha > \frac{1}{2}$
\[ \int_0^n x^{\alpha}h_n(x) dx > n^{\frac{1}{2}+\epsilon} \sqrt{\frac{pi}{2narctan(n)}} \approx n^{\epsilon} \]
Che diverge.Secondo voi è una stima corretta? Procedereste allo stesso modo per $\alpha$ negativi?
Sia $h_n(x)=e^{-n \, arctan(n) (x-n)^2}$, trovare per quali $\alpha \in R$ esiste finito \[lim_{n \rightarrow \inf} \int_0^n x^{\alpha}h_n(x) \. dx \]
Ho inizialmente provato con i vari teoremi di Beppe Levi e convergenza dominata con scarso successo. Poi ho provato a fare delle stime dell'area. Essendo una gaussiana a modulata da $x^{\alpha}$ per $ \alpha \geq 0$, essendo $\sqrt{\frac{pi}{2narctan(n)}$ l'area della gaussiana
\[\int_0^n x^{\alpha}h_n(x) dx \leq n^{\alpha} \sqrt{\frac{pi}{2narctan(n)}} \approx n^{\alpha -\frac{1}{2}} \rightarrow_{n \rightarrow \inf} 0 \]
Se $0< \alpha < \frac{1}{2}$ e minore di 1 se $\alpha = \frac{1}{2}$.
Per $\alpha > \frac{1}{2}$
\[ \int_0^n x^{\alpha}h_n(x) dx > n^{\frac{1}{2}+\epsilon} \sqrt{\frac{pi}{2narctan(n)}} \approx n^{\epsilon} \]
Che diverge.Secondo voi è una stima corretta? Procedereste allo stesso modo per $\alpha$ negativi?
Risposte
Posto \(\sigma_n := 1/\sqrt{2n \arctan(n)}\sim 1/\sqrt{n\pi}\), abbiamo che
\[
\int_0^n x^{\alpha} h_n(x) \, dx \geq \int_{n-\sigma_n}^n x^{\alpha} h_n(x)\,dx
\geq (n-\sigma_n)^{\alpha} C \sigma_n,
\]
dove \(C := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^1 e^{-x^2/2}\, dx\).
Di conseguenza l'integrale è minorato da una quantità del tipo \(C' n^{\alpha-1/2}\); ne segue che, se \(\alpha>1/2\), l'integrale diverge a \(+\infty\).
\[
\int_0^n x^{\alpha} h_n(x) \, dx \geq \int_{n-\sigma_n}^n x^{\alpha} h_n(x)\,dx
\geq (n-\sigma_n)^{\alpha} C \sigma_n,
\]
dove \(C := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^1 e^{-x^2/2}\, dx\).
Di conseguenza l'integrale è minorato da una quantità del tipo \(C' n^{\alpha-1/2}\); ne segue che, se \(\alpha>1/2\), l'integrale diverge a \(+\infty\).
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