Limite integrale
Ho difficoltà col seguente limite:
\[
\lim_{n \to \, \infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-x} sin \biggl(\frac{n}{x} \biggl) dx}}
\]
Personalmente scambio integrale e limite in virtù del teorema della convergenza dominata: tutta la funzione può infatti essere sempre maggiorata da una funzione dipendente dalla sola $x$ che è $e^{-x}$. Il seno assumerà infatti sempre valori inferiori ad $1$, quindi... Portato così il limite dentro, appuro che non esiste: ho infatti il seno che oscilla infinitamente e non tende ad un limite al tendere di $n$ a $\infty$ e $\forall x$ fissato.
La presenza di un suggerimento nell'esercizio mi fa tuttavia pensare che le cose non siano semplici quanto mi appaiano e che nel mio ragionamento ci sia qualche inghippo. Il suggerimento è il seguente:
\[
sin \frac{n}{x} = \frac{x^2}{n} \frac{d}{dx} \biggl( cos \frac{n}{x} \biggl)
\]
\[
\lim_{n \to \, \infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-x} sin \biggl(\frac{n}{x} \biggl) dx}}
\]
Personalmente scambio integrale e limite in virtù del teorema della convergenza dominata: tutta la funzione può infatti essere sempre maggiorata da una funzione dipendente dalla sola $x$ che è $e^{-x}$. Il seno assumerà infatti sempre valori inferiori ad $1$, quindi... Portato così il limite dentro, appuro che non esiste: ho infatti il seno che oscilla infinitamente e non tende ad un limite al tendere di $n$ a $\infty$ e $\forall x$ fissato.
La presenza di un suggerimento nell'esercizio mi fa tuttavia pensare che le cose non siano semplici quanto mi appaiano e che nel mio ragionamento ci sia qualche inghippo. Il suggerimento è il seguente:
\[
sin \frac{n}{x} = \frac{x^2}{n} \frac{d}{dx} \biggl( cos \frac{n}{x} \biggl)
\]
Risposte
Prova a seguire il suggerimento e a integrare per parti.
Integrare per parti prima di fare il limite? Gli esercizi sarebbero pensati proprio per prendere dimestichezza con convergenza monotona e dominata, ovvero i teoremi che permettono di fare lo scambio limite-integrale. Detto ciò, mi pare che utilizzando il suggerimento e integrando ci si trovi con qualcosa di ancora più difficilmente maneggiabile.
Detto \(I_n\) l'integrale di partenza, integrando per parti, salvo errori dovrebbe venire qualcosa del tipo
\[
I_n = \frac{1}{n} \int_0^{+\infty} (x^2-2x)e^{-x} \, \cos\frac{n}{x}\, dx =: \frac{1}{n}\, J_n.
\]
Vedi facilmente che
\[
|J_n| \leq \int_0^{+\infty} |x^2 - 2x| e^{-x}\, dx =: C,
\]
da cui \( |I_n| \leq C / n\).
\[
I_n = \frac{1}{n} \int_0^{+\infty} (x^2-2x)e^{-x} \, \cos\frac{n}{x}\, dx =: \frac{1}{n}\, J_n.
\]
Vedi facilmente che
\[
|J_n| \leq \int_0^{+\infty} |x^2 - 2x| e^{-x}\, dx =: C,
\]
da cui \( |I_n| \leq C / n\).
Dunque, hai chiamato $I_n$ la seguente quantità:
\[
\int_{0}^{\infty}{e^{-x} sin \biggl(\frac{n}{x} \biggl) dx}.
\]
Ed hai trovato una maggiorazione. (Correggimi se sbaglio).
Questo implica che si può utilizzare il teorema della convergenza dominata e portare dentro il limite, che non esiste. E' corretto?
\[
\int_{0}^{\infty}{e^{-x} sin \biggl(\frac{n}{x} \biggl) dx}.
\]
Ed hai trovato una maggiorazione. (Correggimi se sbaglio).
Questo implica che si può utilizzare il teorema della convergenza dominata e portare dentro il limite, che non esiste. E' corretto?
"Sacaio":
Dunque, hai chiamato $I_n$ la seguente quantità:
\[
\int_{0}^{\infty}{e^{-x} sin \biggl(\frac{n}{x} \biggl) dx}.
\]
Ed hai trovato una maggiorazione. (Correggimi se sbaglio).
Questo implica che si può utilizzare il teorema della convergenza dominata e portare dentro il limite, che non esiste. E' corretto?
No.
Non puoi usare il teorema della convergenza dominata per il semplice fatto che la successione \(f_n(x) := e^{-x} \sin (n/x)\) non converge puntualmente (q.o.).
La maggiorazione ti dice che la successione \((I_n)\) è infinitesima, dunque converge a \(0\).
In alternativa puoi fare il cambio di variabile \(y = 1/x\) nell'integrale di partenza e usare il lemma di Riemann-Lebesgue.
"Rigel":
Non puoi usare il teorema della convergenza dominata per il semplice fatto che la successione \(f_n(x) := e^{-x} \sin (n/x)\) non converge puntualmente (q.o.).
Giusto, è vero! Quindi l'unica strada è risolvere prima l'integrale, e poi il limite?
"Rigel":
La maggiorazione ti dice che la successione \((I_n)\) è infinitesima, dunque converge a \(0\).
E il fatto che converga a zero cosa mi dice?
"Sacaio":
E il fatto che converga a zero cosa mi dice?
Ti dice due cose: che il limite esiste finito e che vale \(0\)
(Come dicevo prima, alla luce del lemma di Riemann-Lebesgue, che forse avrai visto se hai fatto le trasformate di Fourier, questo non è sorprendente.)
Probabilmente questo esempio ti è stato fatto per far vedere che il limite degli integrali può tranquillamente esistere anche se la successione di funzioni non converge puntualmente (q.o.).
"Rigel":
[quote="Sacaio"]
E il fatto che converga a zero cosa mi dice?
Ti dice due cose: che il limite esiste finito e che vale \(0\)
[/quote]Vero! Perché $C/n$ maggiora il valore assoluto del nostro integrale e tende a zero dunque, per il teorema dei carabinieri, tende a zero anche il nostro integrale.
Ricapitolando: non posso usare il teorema della convergenza dominata perché non stiamo nelle ipotesi (la successione non è convergente q.o.) tuttavia troviamo una maggiorazione dell'integrale e scopriamo quanto detto tre righe più su.
Grazie mille per la pazienza!
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