Limite infinito di una successione con prodotto
Ciao a tutti!
Mi trovo a preparare la seconda parte dell'esame di analisi, comprendente in teoria solamente integrali ed equazioni differenziali, invece mi ritrovo questo:
\(\displaystyle
lim_{n \to \infty }
\frac{1}{n^3}
\sum_{k=1}^{n}
(3k-1)^2
\)
Sinceramente io non so proprio dove mettere le mani, però per dimostrare il mio impegno vi dico le cose che ho pensato:
Il limite di una successione per n che tende ad infinito dovrebbe essere la successione stessa portata all'infinito termine ed il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, perciò avevo pensato di risolvere la questione spezzando in due il limite, uno dei quali viene banalmente 0 (Il limite di uno sul cubo di enne) mentre l'altra parte è la successione per k da 1 a infinito.
Il problema è che questa successione tende ad infinito, quindi avrei una forma indeterminata del tipo 0*infinito.
Cosa mi suggerite?
Grazie mille!
Mi trovo a preparare la seconda parte dell'esame di analisi, comprendente in teoria solamente integrali ed equazioni differenziali, invece mi ritrovo questo:
\(\displaystyle
lim_{n \to \infty }
\frac{1}{n^3}
\sum_{k=1}^{n}
(3k-1)^2
\)
Sinceramente io non so proprio dove mettere le mani, però per dimostrare il mio impegno vi dico le cose che ho pensato:
Il limite di una successione per n che tende ad infinito dovrebbe essere la successione stessa portata all'infinito termine ed il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, perciò avevo pensato di risolvere la questione spezzando in due il limite, uno dei quali viene banalmente 0 (Il limite di uno sul cubo di enne) mentre l'altra parte è la successione per k da 1 a infinito.
Il problema è che questa successione tende ad infinito, quindi avrei una forma indeterminata del tipo 0*infinito.
Cosa mi suggerite?
Grazie mille!
Risposte
"TeM":
Se ti dicessi che quella sommatoria è esprimibile in una forma chiusa (polinomiale) molto nota?
(La leggenda vuole che a scoprirla sia stato il genio di Gauss, in tenera età...)
Ma non aveva scoperto la somma dei primi $N$ numeri naturali? Pure i quadrati ha fatto? Ragazzino birbante!
Edit. Messaggio cancellato.
Grazie ragazzi, c'ero già arrivato con il suggerimento di TeM in realtà, perché mi ricordavo l'aneddoto di gauss 
solo che anche io ricordavo fosse per la somma degli n naturali (di preciso mi dissero dei primi 100)
stavo giusto separando le tre sommatorie mentre ho aggiornato la pagina e visto le vostre risposte
A presto!
solo che anche io ricordavo fosse per la somma degli n naturali (di preciso mi dissero dei primi 100)stavo giusto separando le tre sommatorie mentre ho aggiornato la pagina e visto le vostre risposte
A presto!
Mi è appena venuta in mente una cosa, adesso apro una discussione.
Scusate, stavo terminando e quell'esercizio e altri simili ora mi sono chiarissimi, però ho un dubbio su un caso come questo:
\(\displaystyle
lim_{n \to \infty }
\frac{1}{n^6}
\sum_{k=1}^{n}
(5k-2)^5
\)
Dove non ho un quadrato ma un binomio alla quinta potenza, in questo caso non ho una formula valida per k^5, come posso procedere?
\(\displaystyle
lim_{n \to \infty }
\frac{1}{n^6}
\sum_{k=1}^{n}
(5k-2)^5
\)
Dove non ho un quadrato ma un binomio alla quinta potenza, in questo caso non ho una formula valida per k^5, come posso procedere?
"TeM":
[quote="oslinux"]Scusate, stavo terminando e quell'esercizio e altri simili ora mi sono chiarissimi, però ho un dubbio su un caso come questo:
\(\displaystyle
lim_{n \to \infty }
\frac{1}{n^6}
\sum_{k=1}^{n}
(5k-2)^5
\)
Dove non ho un quadrato ma un binomio alla quinta potenza, in questo caso non ho una formula valida per k^5, come posso procedere?
Naturalmente l'osservazione fatta sopra aveva un certo senso in quanto, sviluppando il quadrato, la somma
delle tre sommatorie era più che nota. In generale, credo proprio tu debba seguire questo procedimento.
[/quote]Se gli dici così, considerando la domanda che ho posto, gli fai venire un colpo! Prima rispondi alla domanda che ho fatto, sdelinquente!
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