Limite in un punto di discontinuità
Buon pomeriggio gente.
Studiando la funzione[size=150] \( \frac{\sqrt{1-\left|\sin\left(x\right)\right|}}{\cos x} \)[/size] sono arrivato a studiare il limite per \( x\rightarrow\pi/2 \)
Il risultato dovrebbe essere [size=150]\( \frac1{\sqrt2} \)[/size] per[size=150] \(x\rightarrow\frac{\pi^-}2 \)[/size], mentre dovrebbe essere [size=150]\(-\frac1{\sqrt2} \)[/size] per [size=150]\(x\rightarrow\frac{\pi^+}2 \)[/size]
Il problema è che a me il limite viene in entrambi i casi [size=150]\( \frac1{\sqrt2} \)[/size]
Ci sono arrivato in questa maniera: (il valore assoulto l'ho tolto essendo nell'intervallo \(\begin{bmatrix}0&\pi\end{bmatrix} \))
Moltiplico numeratore e denominatore per \(\sqrt{1+\sin\left(x\right)} \)
Poichè \(\sqrt{1-\sin\left(x\right)}\times\sqrt{1+\sin\left(x\right)}=\cos\left(x\right) \), ottengo[size=150] \(\underset{x\rightarrow\pi/2}{lim}\frac{\cos\left(x\right)}{\cos\left(x\right)\times\sqrt{1+\sin\left(x\right)}} \)[/size] che vale[size=150] \(\frac1{\sqrt2} \)[/size] sia che venga da destra sia che venga da sinistra.
Dov'è che sbaglio?
Studiando la funzione[size=150] \( \frac{\sqrt{1-\left|\sin\left(x\right)\right|}}{\cos x} \)[/size] sono arrivato a studiare il limite per \( x\rightarrow\pi/2 \)
Il risultato dovrebbe essere [size=150]\( \frac1{\sqrt2} \)[/size] per[size=150] \(x\rightarrow\frac{\pi^-}2 \)[/size], mentre dovrebbe essere [size=150]\(-\frac1{\sqrt2} \)[/size] per [size=150]\(x\rightarrow\frac{\pi^+}2 \)[/size]
Il problema è che a me il limite viene in entrambi i casi [size=150]\( \frac1{\sqrt2} \)[/size]
Ci sono arrivato in questa maniera: (il valore assoulto l'ho tolto essendo nell'intervallo \(\begin{bmatrix}0&\pi\end{bmatrix} \))
Moltiplico numeratore e denominatore per \(\sqrt{1+\sin\left(x\right)} \)
Poichè \(\sqrt{1-\sin\left(x\right)}\times\sqrt{1+\sin\left(x\right)}=\cos\left(x\right) \), ottengo[size=150] \(\underset{x\rightarrow\pi/2}{lim}\frac{\cos\left(x\right)}{\cos\left(x\right)\times\sqrt{1+\sin\left(x\right)}} \)[/size] che vale[size=150] \(\frac1{\sqrt2} \)[/size] sia che venga da destra sia che venga da sinistra.
Dov'è che sbaglio?
Risposte
Ciao, onestamente no 
In quel passaggio applico il prodotto notevole \(\left(a+b\right)\times\left(a-b\right)=a^2-b^2 \)
ponendo 1 uguale ad a e il seno uguale a b ottengo:
[size=150]\(\sqrt{1+\sin\left(x\right)}\times\sqrt{1-\sin\left(x\right)}=\sqrt{1-\sin^2\left(x\right)}=\sqrt{\cos^2\left(x\right)}=\cos\left(x\right) \)[/size]
Perdonami ma non mi viene in mente dove potrebbe essere l'errore
In quel passaggio applico il prodotto notevole \(\left(a+b\right)\times\left(a-b\right)=a^2-b^2 \)
ponendo 1 uguale ad a e il seno uguale a b ottengo:
[size=150]\(\sqrt{1+\sin\left(x\right)}\times\sqrt{1-\sin\left(x\right)}=\sqrt{1-\sin^2\left(x\right)}=\sqrt{\cos^2\left(x\right)}=\cos\left(x\right) \)[/size]
Perdonami ma non mi viene in mente dove potrebbe essere l'errore
"TeM":
Avevo ben capito cosa hai applicato e anche adesso che hai esplicitato i passaggi è tutto corretto
eccetto ancora l'ultimo passaggio. Devi ricordare che \((\sqrt{t})^2 = t\), mentre si ha \(\sqrt{t^2} = |t|\).
Già hai ragione!
Grazie mille, gentilissimo
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