Limite in polari

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Mi sono trovato a calcolare il limite in coordinate polari $lim_(r->0) (rsin\thetasin(rcos\theta))/r$. Io osserverei che la funzione $sin(rcos\theta)$ è continua e quindi $sin(rcos\theta)->0$ per $r->0$, perciò in maniera molto elementare concluderei che
$lim_(r->0) (rsin\thetasin(rcos\theta))/r=lim_(r->0) " "sin\thetasin(rcos\theta)=0$.
Il mio libro invece fa notare nella soluzione che $sinx "~" x$ per $x->0$ e quindi
$lim_(r->0) (rsin\thetasin(rcos\theta))/r=lim_(r->0) rsin\thetacos\theta=0$ "uniformemente in $\theta$ in quanto $|rsin\thetacos\theta|<=r->0$".
Fermo restando che il risultato è giusto, da $sinx "~" x$, cioè $lim_(x->0) (sinx)/x=1$ farei piuttosto discendere che $\theta != 0 => lim_(r->0)" "sin(rcos\theta)=sec\theta$ e quindi
$lim_(r->0) (rsin\thetasin(rcos\theta))/r= lim_(r->0)rsin\theta sec\theta=0$ (valido banalmente anche se $\theta=0$).
Tutto questo per utilizzare il fatto che $sin(rcos\theta) "~" rcos\theta$, perché mi sembrerebbe un limite semplice da calcolare anche senza tener conto di ciò...
O mi sbaglio?
Grazie $->+oo$ a tutti!

P.S.: Il limite è da calcolare nel contesto della verifica della continuità della funzione definita come $g(x,y)=(ysinx)/sqrt(x^2+y^2)$ per $ (x,y) != (0,0)$ e $g(x,y)=0$ per $(x,y)=(0,0)$.

[Rigel1]

Posto che ognuno può usare le coordinate che vuole, io avrei semplicemente osservato che
\[
|g(x,y)| \leq |\sin x| \leq |x|.
\]

[DavideGenova1]

Grazie, Rigel!!! Anch'io, avendo utilizzato le coordinate polari, avrei poi notato che $lim_(r->0) " sup"_{\theta \in [0.2\pi]}| sin\thetasin(rcos\theta) |=0$ uniformemente per ogni $\theta$ perché $| sin\thetasin(rcos\theta) | <= |sin(rcos\theta)| <= |r| ->0$, che spero sia giusto come procedimento, mentre il procedimento utilizzato nella soluzione del libro, in cui si dice di utilizzare $sinx "~" x,x->0$ per ottenere $lim_(r->0) (rsin\thetasin(rcos\theta))/r=lim_(r->0) rsin\thetacos\theta$ non mi sembra a dire il vero molto sensato (sarò io che mi sbaglio...), perché utilizzando $sinx "~" x$ direi che si arriverebbe piuttosto a $lim_(r->0) (rsin\thetasin(rcos\theta))/r=lim_(r->0) rsin\thetasec\theta$ (che direi renda più difficile verificare l'uniformità della convergenza $AA\theta \in [0.2\pi]$ dato che $sin\thetasec\theta$ non è affatto inferiore a 1 per ogni $\theta$)... No?
Grazie di cuore!!!

[Sk_Anonymous]

Ti allego una discussione interessante in cui il limite non esiste:
esistenza-di-un-limite-due-variabili-t86655.html

[paolotesla91]

Io l'avrei risolta in questo modo: $lim_(r -> 0) (rsin(\theta)sin(rcos(\theta)))/r=sin(\theta)sin(rcos(\theta))<=sin(\theta)|rcos(\theta)|=|r|sin(\theta)|cos(\theta)| ->0$ per $r->0$ e questo vale $AA \theta$ perchè: $|cos(\theta)|<=1$.

[DavideGenova1]

Grazie di cuore a tutti!!! Sono d'accordo con Paolo perché anch'io l'avevo risolta così... In effetti mi pare proprio che $sinx "~" x$ per $x->0$ non c'entri nulla... Chissà se è un refuso per "$sinx <= x$ per $x>=0$"...

[paolotesla91]

No davide in realtà c'entra e come. Quello che tu hai scritto è lo sviluppo asintotico del seno ed è la stessa cosa che hai scritto dopo come quello che hai definito "refuso" xD salvo per la mancanza un valore assoluto eheh.

In generale vale questa proprietà: $|sinx|<=|x|$ ed in effetti è la proprietà che ho applicato al terzo passaggio della catena di disuguaglianze che ho scritto, ed è proprio quel modulo che cambia le cose, perchè siccome il modulo del coseno è sicuramente $<=1$ allora hai che tutta quella roba li che hai nel limite tende 0 $AA \theta$. Non so se mi sono spiegato.

[DavideGenova1]

Grazie $+oo$, Paolo!
La dimostrazione che mi balza alla mente del fatto che $sinx"~"x,x->0$ (equivalente a \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1\)) è (spero di non scrivere altre stupidaggini) che, per il teorema dei "carabinieri"
$|x|<= \pi =>cosx<(sinx)/x<1 => lim_(x->0)cosx=1<=lim_(x->0)(sinx)/x<=1$.
(Quindi mi è chiaro che, sapendo che \( \cos x < \frac{\sin x}{x} \) e \(\lim_{x \to 0} \cos x=1\), se non fosse che $sinx"~"x$, si avrebbe
$\lim_(x->0) cosx <= \lim_(x->0)(sinx)/x != 1 => \lim_(x->0)(sinx)/x >1 => |sinx|>|x|$ che non è una disuguaglianza vera).
Però non mi sembra altrettanto immediato che $sinx"~"x,x->0 => |sinx|<=|x|$...
Grazie di cuore di nuovo!!!