Limite in più variabili: dimostrare che esiste. Come si fa?
Sto impazzendo su una questione: se devo calcolare il limite di una funzione a più variabili, affinchè esista devo assicurarmi che PER OGNI direzione in cui mi avvicino al punto limite, il limite è sempre lo stesso valore.
Ora, se trovo due direzioni in cui il limite non coincide, ok non esiste ed è facile trovare controesempi.
Se invece il limite esiste, come faccio a dimostrarlo?
Esempio stupido:
$lim_{(x,y)->(0,0)} (x^3y^2 + y^5)/(x^4+y^4)$
Il limite esiste e fa $0$. Ora, se mi avvicino da $(0,y)$, $(x,0)$, $(x,mx)$, $(x,P(x)$, con $P(x)$ polinomio senza termine noto, il limite viene sempre 0, quindi "congetturo" che faccia 0. Però non mi pare per niente sufficiente come procedimento. Dovrei dimostrare che per ogni curva $(x(t),y(t))$ passante per $(0,0)$ il limite fa 0. Ma come si può fare? C'è qualche altro criterio? (Senza usare derivabilità, differenziabilità)
Grazie
Ora, se trovo due direzioni in cui il limite non coincide, ok non esiste ed è facile trovare controesempi.
Se invece il limite esiste, come faccio a dimostrarlo?
Esempio stupido:
$lim_{(x,y)->(0,0)} (x^3y^2 + y^5)/(x^4+y^4)$
Il limite esiste e fa $0$. Ora, se mi avvicino da $(0,y)$, $(x,0)$, $(x,mx)$, $(x,P(x)$, con $P(x)$ polinomio senza termine noto, il limite viene sempre 0, quindi "congetturo" che faccia 0. Però non mi pare per niente sufficiente come procedimento. Dovrei dimostrare che per ogni curva $(x(t),y(t))$ passante per $(0,0)$ il limite fa 0. Ma come si può fare? C'è qualche altro criterio? (Senza usare derivabilità, differenziabilità)
Grazie
Risposte
Premetto che non ho la risposta completa alla tua domanda.
Però per esempio posso suggerirti di fare maggiorazioni "ad hoc" per ottenere quanto vuoi.. chessò:
$lim_((x,y) to (0,0)) x^3 sin y $ fa zero, visto che $-x^3<= x^3 siny <= x^3$ e per il teorema di convergenza dominata..
Oppure potresti provare a passare in coordinate polari: vedi il limite come il limite di una famiglia di funzioni in $rho$ parametrizzata da $theta$, e prova la convergenza uniforme al limite che vuoi.. (ancora ad esempio con maggiorazioni..o cose simili insomma)
Però spero che qualcun altro risponda, così imparo un po' anche io!
Però per esempio posso suggerirti di fare maggiorazioni "ad hoc" per ottenere quanto vuoi.. chessò:
$lim_((x,y) to (0,0)) x^3 sin y $ fa zero, visto che $-x^3<= x^3 siny <= x^3$ e per il teorema di convergenza dominata..
Oppure potresti provare a passare in coordinate polari: vedi il limite come il limite di una famiglia di funzioni in $rho$ parametrizzata da $theta$, e prova la convergenza uniforme al limite che vuoi.. (ancora ad esempio con maggiorazioni..o cose simili insomma)
Però spero che qualcun altro risponda, così imparo un po' anche io!
Bene ok, in effetti spesso maggiorare funziona...
Però voglio sapere in generale come si fa!
Qualcuno ha delle idee??
Però voglio sapere in generale come si fa!
Qualcuno ha delle idee??
In questo caso hai una funzione omogenea di grado $1$, quindi quel limite deve necessariamente essere $0$.
Una funzione $f: D=RR^2\setminus \{o\} \to RR$ si dice omogenea di grado $alpha \in RR$ se e solo se per ogni $(x,y) \in D$ e per ogni $lambda >0$ risulta:
$f(lambda x, lambda y)=lambda^alpha f(x,y)$.
Chiaramente una funzione omogenea è completamente determinata dai valori che essa assume su una qualunque circonferenza $Gamma$ di centro $o=(0,0)$: infatti preso $(xi,eta) \in Gamma$, $D$ contiene tutta la semiretta $S$ uscente da $o$ e passante per $(x,y)$ (che si rappresenta come l'insieme dei punti $S:=\{ (lambda xi,lambda eta)\}_(lambda >0)$) e la restrizione di $f$ ad $S$ è:
$f|S(x,y)=f(lambda xi,lambda eta)=lambda^alpha f(xi,eta) \quad$ dove $lambda =x/xi " oppure " y/eta$.
cosicché $f|S$ è una funzione potenza di grado $alpha$. In particolare, ogni funzione omogenea in $RR\setminus \{ o\}$ è completamente determinata dai valori che essa assume sulla circonferenza unitaria $Gamma_1$ di centro $o$; ne viene che, se $f$ è continua su $Gamma_1$, essendo $Gamma_1$ compatto (poiché chiuso e limitato) si ha:
(*) $\quad lambda^alpha m<= lambda^alpha f(x,y) <=lambda^alpha M$
per ogni punto $(x,y) \in Gamma_1$ e $lambda >0$ (nota che per $lambda in ]0,1]$ i punti del tipo $(lambda x, lambda y)$ "riempiono" tutto il cerchio unitario di centro $o$ privato del centro).
Nel tuo caso hai:
$f(lambda x, lambda y)=lambda f(x,y)$
quindi $f$ è omogenea di ordine $alpha=1$; visto che $f$ risulta continua su $Gamma_1$, hai certamente una catena di disuguaglianze di tipo (*) e per calcolare il limite che ti interessa, ti basta mandare $lambda \to 0$ in (*) (sempre con $alpha=1$) e ricordare il teorema dei carabinieri.
Una funzione $f: D=RR^2\setminus \{o\} \to RR$ si dice omogenea di grado $alpha \in RR$ se e solo se per ogni $(x,y) \in D$ e per ogni $lambda >0$ risulta:
$f(lambda x, lambda y)=lambda^alpha f(x,y)$.
Chiaramente una funzione omogenea è completamente determinata dai valori che essa assume su una qualunque circonferenza $Gamma$ di centro $o=(0,0)$: infatti preso $(xi,eta) \in Gamma$, $D$ contiene tutta la semiretta $S$ uscente da $o$ e passante per $(x,y)$ (che si rappresenta come l'insieme dei punti $S:=\{ (lambda xi,lambda eta)\}_(lambda >0)$) e la restrizione di $f$ ad $S$ è:
$f|S(x,y)=f(lambda xi,lambda eta)=lambda^alpha f(xi,eta) \quad$ dove $lambda =x/xi " oppure " y/eta$.
cosicché $f|S$ è una funzione potenza di grado $alpha$. In particolare, ogni funzione omogenea in $RR\setminus \{ o\}$ è completamente determinata dai valori che essa assume sulla circonferenza unitaria $Gamma_1$ di centro $o$; ne viene che, se $f$ è continua su $Gamma_1$, essendo $Gamma_1$ compatto (poiché chiuso e limitato) si ha:
(*) $\quad lambda^alpha m<= lambda^alpha f(x,y) <=lambda^alpha M$
per ogni punto $(x,y) \in Gamma_1$ e $lambda >0$ (nota che per $lambda in ]0,1]$ i punti del tipo $(lambda x, lambda y)$ "riempiono" tutto il cerchio unitario di centro $o$ privato del centro).
Nel tuo caso hai:
$f(lambda x, lambda y)=lambda f(x,y)$
quindi $f$ è omogenea di ordine $alpha=1$; visto che $f$ risulta continua su $Gamma_1$, hai certamente una catena di disuguaglianze di tipo (*) e per calcolare il limite che ti interessa, ti basta mandare $lambda \to 0$ in (*) (sempre con $alpha=1$) e ricordare il teorema dei carabinieri.
gygabyte017
Junior Member
Registrato: 09/04/06 17:21
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Bene ok, in effetti spesso maggiorare funziona...
Però voglio sapere in generale come si fa!
Qualcuno ha delle idee??
Premetto che ho appena concluso all'università un corso di analisi 2 fatto in un mese, nel quale il professore ci ha spiegato gli argomenti in maniera riassuntata e molto semplice.
Ti posso dire che il metodo che ci ha spiegato lui per verificare il limite di una funzione è il metodo delle coordinate polari...ce ne saranno sicuramente 100mila modi per verificarlo però se il prof ci ha spiegato questo sistema penso che sia il più semplice da usare, quindi ti consiglio in generale di rifarti a questo metodo.
Ti faccio vedere come l'ho verificato io:
passando alle coordinate polari hai che $x=x_0+\rho cos\theta $ e $y=y_0+\rho sin\theta$
e quindi il limite diventa
$\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{\rho ^5cos^3\theta sin^2\theta +\rho ^5sin^2\theta }{\rho ^2(sin^4\theta +cos^4\theta) }$ e quindi raccogliendo $rho$ e $sin^2theta$ a numeratore e semplificandolo $rho$ col denominatore viene
$\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{\rho^3sin^2\theta(cos^3\theta+1)}{sin^4\theta +cos^4\theta}$
Ora affinchè questo limite esista si deve verificare una condizione necessaria e sufficiente, cioè che il limite della funzione scritta in coordinate polari per $rho$ tendente a zero deve fare $l$(valore finito) e inoltre tale limite deve essere uniforme rispetto a $theta$, cioè vuol dire che se riusciamo a maggiorare la nostra funzione con un'altra che non esprimiamo in funzione di $theta$ allora il gioco è fatto!
Trasformiamo ora il seno che è a numeratore in coseno e moltiplichiamo per la parentesi e si ottiene:
$\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{\rho^3(cos^3\theta+1-cos^5\theta-cos^2\theta)}{sin^4\theta +cos^4\theta}$
Ora se guardi questo numeratore e rifletti un po' su che valori può assumere al variare di $theta$ ti accorgerai che essi saranno tutti valori compresi tra zero e uno. Puoi anche verificarlo tracciando questa funzione su qualche programma e te ne accorgerai dal grafico, chiaramente mettendo $x$ al posto di $theta$( c'è per esempio questo programma http://www.mathe-fa.de/it )
Di conseguenza tutto il rapporto lo possiamo maggiorare per esempio con $\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{2\rho^3}{sin^4\theta +cos^4\theta}$
Ma non abbiamo ancora una funzione espressa non in funzione di $theta$!
Guardiamo quindi il denominatore e studiando che valori può assumere al variare di $theta$ come poco fa ci accorgiamo che ha valori compresi tra $frac{1}{2}$ e $1$ quindi l'ultimo rapporto che abbiamo ottenuto lo maggioreremo con un'altra frazione che ha il denominatore più piccolo del valore minimo che può assumere $sin^4\theta +cos^4\theta$ e allora prendiamo in considerazione per esempio $frac{1}{4}$, quantità più piccola di $frac{1}{2}$ e quindi siamo riusciti a trovare la nostra funzione maggiorante che è $8\rho^3$
Non è stato immediatissimo qui maggiorare, bisognava riflettere un po', però stai tranuqillo che ci sono casi più semplici!
Spero di essere stato chiaro e di esserti stato di aiuto
"Robbyx":
$\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{\rho^3sin^2\theta(cos^3\theta+1)}{sin^4\theta +cos^4\theta}$
Mi chiedo se sia necessario maggiorare una volta giunti a questo punto. Non è sufficiente affermare che al variare di $\theta$ il limite risulta sempre $0$?
Grazie
Sì il limite risulta sempre $0$, ma non è sufficiente per dire che il limite esiste.
La condizione necessaria e sufficiente mi dice che deve fare $0$ e che inoltre sia uniforme rispetto a $theta$ , quindi si deve trovare la maggiorazione
Se sappiamo in partenza che il limite esiste allora possiamo limitarci a calcolarlo in questo modo per vedere quanto vale ma se non sappiamo se esiste...
La condizione necessaria e sufficiente mi dice che deve fare $0$ e che inoltre sia uniforme rispetto a $theta$ , quindi si deve trovare la maggiorazione
Se sappiamo in partenza che il limite esiste allora possiamo limitarci a calcolarlo in questo modo per vedere quanto vale ma se non sappiamo se esiste...
Ti ringrazio, io pensavo che il limite fosse uniforme rispetto a $\theta$ già a quel punto
Di nulla
Cmq ti faccio un piccolo esempio per farti capire meglio!
se consideri la funzione $frac{x^2y}{x^4+y^2}$ e la fai tendere a $P(0,0)$ il limite non esiste!
Infatti se la fai tendere da una retta generica $y=mx$ vedrai che il limite, indipendentemente dal valore di $m$ è sempre $0$ ma se la fai tendere da una parabola di equazione $y=x^2$ il limite fa $frac{1}{2}$!(se provi a fare i calcoli te ne rendi conto) quindi non esiste!
Se passi alle coordinate polari raccogliendo $rho$ e facendo le varie semplificazioni ti verrà fuori
$\lim_{\rho\rightarrow 0}\frac{ \rho\cos^2\theta\sin\theta}{\rho^2cos^4\theta+sin^2\theta}$
qualsiasi valore di $theta$ consideri questo limite è sempre $0$, ma intanto abbiamo dimostrato prima che non esiste...
Cmq ti faccio un piccolo esempio per farti capire meglio!
se consideri la funzione $frac{x^2y}{x^4+y^2}$ e la fai tendere a $P(0,0)$ il limite non esiste!
Infatti se la fai tendere da una retta generica $y=mx$ vedrai che il limite, indipendentemente dal valore di $m$ è sempre $0$ ma se la fai tendere da una parabola di equazione $y=x^2$ il limite fa $frac{1}{2}$!(se provi a fare i calcoli te ne rendi conto) quindi non esiste!
Se passi alle coordinate polari raccogliendo $rho$ e facendo le varie semplificazioni ti verrà fuori
$\lim_{\rho\rightarrow 0}\frac{ \rho\cos^2\theta\sin\theta}{\rho^2cos^4\theta+sin^2\theta}$
qualsiasi valore di $theta$ consideri questo limite è sempre $0$, ma intanto abbiamo dimostrato prima che non esiste...
Bene grazie a tutti quanti, ora ho le idee molto più chiare!
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