Limite in più variabili all'infinito dipendente da parametro

[piero8888]

Salve a tutti, scrivo per chiedere aiuto su un esercizio di analisi 2



Mi son subito reso conto che se il limite esiste deve essere 0.
Passando in polari sono riuscito a dimostrare che il limite converge a 0 se il parametro a è minore di 1 e, valutando il limite sulla famiglia di curve che vanno all'infinito come una generica potenza, sono riuscito a dimostrare che il limite non esiste per a>2.

Il problema è che non riesco a dimostrare cosa succede per 1

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Risposte

gugo82

20 dic 2018, 23:01

Ma lasciando da parte tutto quello che hai già fatto, noterei che:
\[
0<\frac{xy^\alpha}{1+x^2+x^2y^2}\leq \frac{xy^\alpha}{x^2y^2} = \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y^{2-\alpha}}
\]
in $R$, quindi...

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piero8888

21 dic 2018, 03:35

Vedendo quella disuguaglianza la prima cosa che mi viene in mente è usare disuguaglianze del tipo $ 2ab \leq a^2+b^2 \leq (a+b)^2$ (poichè nel dominio è $x>1$, $y>1$ e quindi $a= \frac{1}{x} >0$ e $b= \frac{1}{y}>0$ ) ma apparentemente non mi portano a nulla.
Non riesco a cogliere il suggerimento

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gugo82

22 dic 2018, 21:31

Quando $(x,y) -> oo$ la funzione maggiorate $1/(x y^(2-alpha))$ è infinitesima non appena $alpha < 2$.

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[gugo82]

Ma lasciando da parte tutto quello che hai già fatto, noterei che:
\[
0<\frac{xy^\alpha}{1+x^2+x^2y^2}\leq \frac{xy^\alpha}{x^2y^2} = \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y^{2-\alpha}}
\]
in $R$, quindi...

[piero8888]

Vedendo quella disuguaglianza la prima cosa che mi viene in mente è usare disuguaglianze del tipo $ 2ab \leq a^2+b^2 \leq (a+b)^2$ (poichè nel dominio è $x>1$, $y>1$ e quindi $a= \frac{1}{x} >0$ e $b= \frac{1}{y}>0$ ) ma apparentemente non mi portano a nulla.
Non riesco a cogliere il suggerimento

[gugo82]

Quando $(x,y) -> oo$ la funzione maggiorate $1/(x y^(2-alpha))$ è infinitesima non appena $alpha < 2$.