Limite in più variabili a più infinito
Domanda abbastanza teorica: per dimostrare che una funzione in $ RR^2 $ continua è limitata, ovvero che per $ (x,y)->oo $ la funzione non tende a infinito, è sufficiente mostrare che il limite è finito su tutte le rette y=mx?
Ovvero
$ lim_(x^2+y^2 -> oo, y=mx)f(x,y) < oo =>lim_(x^2+y^2 -> oo)f(x,y) < oo $ ???
grazie.
Ovvero
$ lim_(x^2+y^2 -> oo, y=mx)f(x,y) < oo =>lim_(x^2+y^2 -> oo)f(x,y) < oo $ ???
grazie.
Risposte
La tua idea funziona (se applicata correttamente), ma il testo del problema completo com'è ?
non viene da un esercizio specifico, è un dubbio generale... in che senso intendi che va applicata correttamente l idea?
che ci manca la x=0
Secondo me la risposta è assolutamente no, la funzione potrebbe non essere limitata su una curva che non una retta..
L'unico modo rigoroso è riuscire a maggiorare $|f(x,y)|$ con una $g(x^2+y^2)$ che tenda a un limite finito al tendere a $oo$ di $x^2+y^2$.
L'unico modo rigoroso è riuscire a maggiorare $|f(x,y)|$ con una $g(x^2+y^2)$ che tenda a un limite finito al tendere a $oo$ di $x^2+y^2$.
L'osservazione di Giuly è corretta.
Se si considera una funzione del tipo
$f(x,y) = \frac{x y^4}{x^2+y^6}$
si vede subito che lungo le rette la funzione va a $0$ all'infinito, pur essendo la funzione illlimitata all'esterno di qualsiasi palla (per vedere questo basta considerare la restrizione $f(y^3,y) = y/2$).
Se si considera una funzione del tipo
$f(x,y) = \frac{x y^4}{x^2+y^6}$
si vede subito che lungo le rette la funzione va a $0$ all'infinito, pur essendo la funzione illlimitata all'esterno di qualsiasi palla (per vedere questo basta considerare la restrizione $f(y^3,y) = y/2$).
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