Limite in più variabili

[Ulyx3s]

Non vorrei aprire l ennesimo topic sul calcolo dei limiti in più variabili, so che per quanto riguarda il dimostrare l' esistenza di un limite non è sufficiente ricorrere alle rette passanti per il punto ma qui il discorso è un pò diverso.
Il dubbio è nato a seguito di questo quesito:
Dire se esiste
$ lim_((x,y) -> (0,0),y != -x) (x^4y^2)/(x^3+y^3) $
Dunque, sulle rette e sulle curve del tipo $ x^a $ il limite è sempre lo stesso, tuttavia con le cordinate polari si capisce che vicino allo zero, se la pendenza del grafico si avvicina a -1 il limite ha dei problemi, ma io mi chiedo, come trovo la curva sulla quale non c è il limite??
la soluzione infatti è la curva $ (x^11-x^3)^(1/3) $ , ma ditemi voi come mai mi sarebbe venuto in mente di mettermi su una curva simile!
voi come avreste fatto??
grazie!

[Giuly191]

Questo tipo di esercizi è molto particolare, l'idea che ci sta sotto è che a denominatore devi riuscire ad avere una potenza più alta o dello stesso grado che a numeratore. Per farlo anzitutto devi annullare le potenze troppo basse, in questo caso è d'obbligo capire che la curva sarà del tipo $(x^a - x^3)^(1/3)$. In questo modo noti che a denominatore rimane $x^a$, e il tuo scopo è di fare in modo che $a$ sia maggiore dell'esponente più basso a numeratore (dico più basso perchè per quantità infinitesime "comandano" le potenze più basse).
Facendo due conti ti accorgi che a numeratore hai: $x^4(x^a-x^3)^(2/3)=x^6(1-x^(a-3))^(2/3) sim x^6(1-2/3 x^(a-3) ) sim x^6$ (con $a >3$ ovviamente).
Quindi in questo caso già $a=6$ va bene, se controlli il limite su quella curva non è nullo!
Il libro vuole esagerare è aumenta ulteriormente l'esponente, in quel modo il limite è chiaramente infinito.