Limite in più variabili
Ciao a tutti! Sto iniziando lo studio dei limiti... per ora non ho strumenti (se non il teorema sulla restrizione che in questo momento non mi serve) volevo sapere se il metodo che ho utilizzato per la risoluzione di questo limite è matematicamente corretto:
$\lim_((x,y)->(0,0)) e^(x+y+1) + (x^2y)/(x^2 + y^2) = \lim_((x,y)->(0,0)) e^(x+y+1) + \lim_((x,y)->(0,0)) (x^2y)/(x^2 + y^2)$
$ = e + \lim_((x,y)->(0,0)) y * x^2/(x^2 + y^2) = e + (\lim_((x,y)->(0,0)) y) (\lim_((x,y)->(0,0)) x^2/(x^2 + y^2)) = e + (0) (\lim_((x,y)->(0,0)) x^2/(x^2 + y^2)) = e+ 0 = e$
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Aggiungo un altro esercizio sempre perchè non sono sicuro della correttezza dello svolgimento
(sono sicuro che questo topic lo riempirò durante la nottata ma le risposte arriveranno solo domattina 
)
$\lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2) + cos(xy) = \lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2) + \lim_((x,y)->(0,0)) cos(xy) =[\lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2)] + 1$
Portando in coordinate polari ottengo (non riporto più il + 1, ne terrò conto alla fine)
$\lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2) = \lim_(\rho->0) sin(\rho sin \theta \rho cos \theta)/sqrt(\rho^2(cos\theta)^2 + \rho^2 (cos\theta)^2) =\lim_(\rho->0) sin(\rho^2 sin\theta cos\theta)/sqrt(\rho^2(cos^2\theta + sin^2 \theta)) =\lim_(\rho->0) sin(\rho^2 sin\theta cos\theta)/\rho$
Applicando De L'Hopital ottengo
$\lim_(\rho->0) cos(\rho^2sin\theta cos\theta) * 2\rho sin\theta cos \theta = [1 * o(1)] * [0 * o(1)] = 0$
quindi il limite finale è
$\lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2) + cos(xy) = 0 + 1 = 1$
esatto???
$\lim_((x,y)->(0,0)) e^(x+y+1) + (x^2y)/(x^2 + y^2) = \lim_((x,y)->(0,0)) e^(x+y+1) + \lim_((x,y)->(0,0)) (x^2y)/(x^2 + y^2)$
$ = e + \lim_((x,y)->(0,0)) y * x^2/(x^2 + y^2) = e + (\lim_((x,y)->(0,0)) y) (\lim_((x,y)->(0,0)) x^2/(x^2 + y^2)) = e + (0) (\lim_((x,y)->(0,0)) x^2/(x^2 + y^2)) = e+ 0 = e$
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Aggiungo un altro esercizio sempre perchè non sono sicuro della correttezza dello svolgimento
(sono sicuro che questo topic lo riempirò durante la nottata ma le risposte arriveranno solo domattina )$\lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2) + cos(xy) = \lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2) + \lim_((x,y)->(0,0)) cos(xy) =[\lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2)] + 1$
Portando in coordinate polari ottengo (non riporto più il + 1, ne terrò conto alla fine)
$\lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2) = \lim_(\rho->0) sin(\rho sin \theta \rho cos \theta)/sqrt(\rho^2(cos\theta)^2 + \rho^2 (cos\theta)^2) =\lim_(\rho->0) sin(\rho^2 sin\theta cos\theta)/sqrt(\rho^2(cos^2\theta + sin^2 \theta)) =\lim_(\rho->0) sin(\rho^2 sin\theta cos\theta)/\rho$
Applicando De L'Hopital ottengo
$\lim_(\rho->0) cos(\rho^2sin\theta cos\theta) * 2\rho sin\theta cos \theta = [1 * o(1)] * [0 * o(1)] = 0$
quindi il limite finale è
$\lim_((x,y)->(0,0)) sin(xy)/sqrt(x^2 + y^2) + cos(xy) = 0 + 1 = 1$
esatto???
Risposte
Ok per il primo limite, anche perché se usi pure in quel caso le coordinate polari ti accorgi che al numeratore hai qualcosa che dipende da $\rho^3$ mentra la denominatore hai $\rho^2$ e quindi una dipendenza di quel pezzo di funzione da $\rho$ che implica la convergenza a zero del limite.
Nel secondo caso perché usi de l'Hopital? L'argomento del seno dipende da $\rho^$: allora moltiplica e dividi tutto per $\rho\ \cos\theta\ \sin\theta$, così da ottenere da una parte il limite notevole di ${\sin t}/t$ ($t$ è l'argomento del seno) che va ad 1 moltiplicato per $\rho\ \sin\theta\ \cos\theta$ che va ovviamente a zero indipendentemente da $\theta$.
Nel secondo caso perché usi de l'Hopital? L'argomento del seno dipende da $\rho^$: allora moltiplica e dividi tutto per $\rho\ \cos\theta\ \sin\theta$, così da ottenere da una parte il limite notevole di ${\sin t}/t$ ($t$ è l'argomento del seno) che va ad 1 moltiplicato per $\rho\ \sin\theta\ \cos\theta$ che va ovviamente a zero indipendentemente da $\theta$.
Giusto non c'avevo pensato adesso sto facendo gli ultimi esercizi sui limiti prima di passare al calcolo differenziale... tra poco ontinuo a scrivere su questo topic
(ragazzi ma sono io disumano che studio analisi a quest'ora?)
adesso sto facendo gli ultimi esercizi sui limiti prima di passare al calcolo differenziale... tra poco ontinuo a scrivere su questo topic (ragazzi ma sono io disumano che studio analisi a quest'ora?
)
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