Limite in forma indeterminata 0 * OO

[EnricoLaTalpa1]

Ho questo limite
$ lim (n^2log(1+2^n)sen(n))/((2^(1/n)-1)(3^n)) $
ponendo $ 1/n=t $ e usando i limiti notevoli riesco ad arrivare a questa situazione
$ t/((2^t)-1) log(1+2^(1/t))/(2^(1/t)) (sen(1/t))/(1/t) (2/3)^(1/t) (1/t^4) $
però qui non riesco ad eliminare l'ultima forma indeterminata...
il limite deve risultare risultare 0
qualche idea?

[Gi81]

E' questo il limite?
\[ \lim_{n \to + \infty} \frac{n^2 \cdot \log\left(1+2^{n}\right) \cdot \sin(n)}{\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)\cdot 3^{n}} \]

[EnricoLaTalpa1]

si

[giuscri]

"EnricoLaTalpa": \[\frac{t}{2^t-1} \frac{\log{(1+2^{1/t})}}{2^{1/t}} \frac{\sin{1/t}}{1/t} {(2/3)}^{1/t} (1/t^4) \]

Se riuscissi a dimostrare che vicino a zero vale \[{(2/3)}^{1/t} \le t^5\] avresti finito, per esempio: ti basterebbe maggiorare l'ultimo termine.
Io userei De L'Hospital per verificarlo...

[EnricoLaTalpa1]

non ho capito.
cioè tu dici applicare il teorema solo all'ultima parte?

[giuscri]

"EnricoLaTalpa":non ho capito. cioè tu dici applicare il teorema solo all'ultima parte?

Dico che se tu riuscissi a scrivere \[\frac{t}{2^t-1} \frac{\log{(1+2^{1/t})}}{2^{1/t}} \frac{\sin{1/t}}{1/t} {(2/3)}^{1/t} (1/t^4) \le \frac{t}{2^t-1} \frac{\log{(1+2^{1/t})}}{2^{1/t}} \frac{\sin{1/t}}{1/t} t^5/t^4\] avresti finito - teorema del confronto. A te scegliere il modo di verificarlo; uno di questi potrebbe essere verificare che \[{(2/3)}^{1/t} \le t^5 \] via \[\lim_{t \to 0} \frac{{(2/3)}^{1/t}}{t^5} \stackrel{?}{=} 0\] usando De L'Hospital. Questa e' la prima strada che m'e' venuta in mente - ma ce ne saranno senz'altro di piu' eleganti.

Buono studio!

[EnricoLaTalpa1]

geniaccio grazie mille

[21zuclo]

"Gi8":E' questo il limite?
\[ \lim_{n \to + \infty} \frac{n^2 \cdot \log\left(1+2^{n}\right) \cdot \sin(n)}{\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)\cdot 3^{n}} \]

scusate un attimo.. questo è un limite di succesione, e come si può utilizzare Hopital?.. come si fa a derivare una successione fatta con i numeri naturali?.. io non ho mai sentito il teorema de Hopital sulle successioni.. o almeno a lezione di analisi 1, non è stato detto e non c'è nemmeno sul libro..

io userei asintotici o robe simili per risolvere quel limite..

[giuscri]

"21zuclo":[quote="Gi8"]E' questo il limite?
\[ \lim_{n \to + \infty} \frac{n^2 \cdot \log\left(1+2^{n}\right) \cdot \sin(n)}{\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)\cdot 3^{n}} \]

scusate un attimo.. questo è un limite di succesione, e come si può utilizzare Hopital?.. come si fa a derivare una successione fatta con i numeri naturali?.. io non ho mai sentito il teorema de Hopital sulle successioni.. o almeno a lezione di analisi 1, non è stato detto e non c'è nemmeno sul libro..

io userei asintotici o robe simili per risolvere quel limite..[/quote]

Mmm. Il limite è stato risolto utilizzando i limiti notevoli. De L'Hospital è stato usato per verificare il tasso di crescita di due funzioni diverse. Una volta verificato che vale la diseguaglanza per valori continui, be'...basta renderli granulosi e deve funzionare ancora, no?

[21zuclo]

sì..bé. Ok, va bene..

cmq intanto che rispondevi ho risposto meglio..in pratica ho messo a posto la mia risposta..

[Seneca1]

Anziché considerare la successione $f(n)$ puoi considerare la funzione $f(x)$, cioè passare alla variabile continua. Con un po' di attenzione si può applicare il teorema di De L'Hospital anche per risolvere limiti di successioni.