Limite in due variabili con valore assoluto
Il limite è il seguente:
$lim_((x,y)->(0,0))((x^2-y^4)*(sin(log(x^2+y^2)))/(|x|+|y|))$
Il limite so che dove tendere a zero, ma non so come svolgerlo, ho provato a ricondurmi a limiti notevoli con scarsi risultati, allora ho intrapreso la strada Delle coordinate polari ma non riesco a trovare una nuova funzione dipendente da $\rho$ che mi controlli superiormente la funzione limite riscritta in polari.
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro impegno
$lim_((x,y)->(0,0))((x^2-y^4)*(sin(log(x^2+y^2)))/(|x|+|y|))$
Il limite so che dove tendere a zero, ma non so come svolgerlo, ho provato a ricondurmi a limiti notevoli con scarsi risultati, allora ho intrapreso la strada Delle coordinate polari ma non riesco a trovare una nuova funzione dipendente da $\rho$ che mi controlli superiormente la funzione limite riscritta in polari.
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro impegno
Risposte
Ciao pirgi,
Benvenuta sul forum!
Sicura che esista? Prova a passare in coordinate polari e vedere se il valore del limite dipende dall'angolo o se si può maggiorare con qualcosa che non dipende dall'angolo...
Benvenuta sul forum!
Sicura che esista? Prova a passare in coordinate polari e vedere se il valore del limite dipende dall'angolo o se si può maggiorare con qualcosa che non dipende dall'angolo...
Non ho fatto conti, ma se vuoi far vedere che il limite esiste ed è $0$, considera che $|sin(log(x^2+y^2))| \le 1$ e quindi è sufficiente provare che il limite seguente vale $0$:
$lim_((x,y)->(0,0)) (|x^2-y^4|)/(|x|+|y|)$ ,
che passando in polari diventa
$lim_(\rho \to 0^+) \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) $.
Considera che $ \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) \le \rho C_1 (|\cos^2 \theta| + | \rho^2 \sin^4 \theta|) \to 0$ uniformemente rispetto a $\theta \in [0, 2 \pi]$.
Qui $C_1 := \max_{\theta \in [0, 2 \pi]} \frac{1}{|\cos \theta|+|\sin \theta|} < + \infty$.
$lim_((x,y)->(0,0)) (|x^2-y^4|)/(|x|+|y|)$ ,
che passando in polari diventa
$lim_(\rho \to 0^+) \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) $.
Considera che $ \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) \le \rho C_1 (|\cos^2 \theta| + | \rho^2 \sin^4 \theta|) \to 0$ uniformemente rispetto a $\theta \in [0, 2 \pi]$.
Qui $C_1 := \max_{\theta \in [0, 2 \pi]} \frac{1}{|\cos \theta|+|\sin \theta|} < + \infty$.
"Seneca":
Non ho fatto conti, ma se vuoi far vedere che il limite esiste ed è $0$, considera che $|sin(log(x^2+y^2))| \le 1$ e quindi è sufficiente provare che il limite seguente vale $0$:
$lim_((x,y)->(0,0)) (|x^2-y^4|)/(|x|+|y|)$ ,
che passando in polari diventa
$lim_(\rho \to 0^+) \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) $.
Considera che $ \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) \le \rho C_1 (|\cos^2 \theta| + | \rho^2 \sin^4 \theta|) \to 0$ uniformemente rispetto a $\theta \in [0, 2 \pi]$.
grazie per la risposta, credo che sia emerso il cuore del problema, tramite il cambio di variabili in polari ero arrivata allo stesso risultato, solo che mi ero fermata un passaggio prima proprio perché non riuscivo a dimostrare che la parte di funzione dipendente solo da $theta$ fosse limitata.
mi puoi aiutare capire come fare a riconoscere che è limitata o a dimostrarlo?
Ho aggiunto una riga alla fine del post precedente.
Il discorso è che $| \cos \theta| + |\sin \theta| \> 0$ per ogni $\theta \in [0, 2 \pi]$, quindi, essendo questa somma di moduli una funzione continua nell'intervallo $[0, 2 \pi]$, $\exists \min_{\theta \in [0, 2 \pi]} ( | \cos \theta| + |\sin \theta| ) = C > 0$ (lo si può calcolare, ma non interessa sapere quanto vale... l'importante è che sia positivo). Pertanto
\[ C_1 = \max_{\theta \in [0, 2 \pi]} \frac{1}{ | \cos \theta| + |\sin \theta|} = \frac{1}{\min_{\theta \in [0, 2 \pi]} ( | \cos \theta| + |\sin \theta| ) } = \frac{1}{C} \]
è un numero reale positivo. Allora si ha la maggiorazione:
$ \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) \le \rho C_1 (|\cos^2 \theta| + | \rho^2 \sin^4 \theta|) \le \rho C_1 ( 1 + \rho^2 ) \to 0$ per $\rho \to 0^+$, uniformemente rispetto a $\theta$.
Ti torna?
Il discorso è che $| \cos \theta| + |\sin \theta| \> 0$ per ogni $\theta \in [0, 2 \pi]$, quindi, essendo questa somma di moduli una funzione continua nell'intervallo $[0, 2 \pi]$, $\exists \min_{\theta \in [0, 2 \pi]} ( | \cos \theta| + |\sin \theta| ) = C > 0$ (lo si può calcolare, ma non interessa sapere quanto vale... l'importante è che sia positivo). Pertanto
\[ C_1 = \max_{\theta \in [0, 2 \pi]} \frac{1}{ | \cos \theta| + |\sin \theta|} = \frac{1}{\min_{\theta \in [0, 2 \pi]} ( | \cos \theta| + |\sin \theta| ) } = \frac{1}{C} \]
è un numero reale positivo. Allora si ha la maggiorazione:
$ \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) \le \rho C_1 (|\cos^2 \theta| + | \rho^2 \sin^4 \theta|) \le \rho C_1 ( 1 + \rho^2 ) \to 0$ per $\rho \to 0^+$, uniformemente rispetto a $\theta$.
Ti torna?
"Seneca":
Ho aggiunto una riga alla fine del post precedente.
Il discorso è che $| \cos \theta| + |\sin \theta| \> 0$ per ogni $\theta \in [0, 2 \pi]$, quindi, essendo questa somma di moduli una funzione continua nell'intervallo $[0, 2 \pi]$, $\exists \min_{\theta \in [0, 2 \pi]} ( | \cos \theta| + |\sin \theta| ) = C > 0$ (lo si può calcolare, ma non interessa sapere quanto vale... l'importante è che sia positivo). Pertanto
\[ C_1 = \max_{\theta \in [0, 2 \pi]} \frac{1}{ | \cos \theta| + |\sin \theta|} = \frac{1}{\min_{\theta \in [0, 2 \pi]} ( | \cos \theta| + |\sin \theta| ) } = \frac{1}{C} \]
è un numero reale positivo. Allora si ha la maggiorazione:
$ \rho (|\cos^2 \theta - \rho^2 \sin^4 \theta|)/(|\cos \theta|+|\sin \theta|) \le \rho C_1 (|\cos^2 \theta| + | \rho^2 \sin^4 \theta|) \le \rho C_1 ( 1 + \rho^2 ) \to 0$ per $\rho \to 0^+$, uniformemente rispetto a $\theta$.
Ti torna?
Penso proprio di aver capito il ragionamento che ci sta dietro, sono un po' incerta su come il tutto diventi $(rho*C1)*(1+rho^2)$ ma credo sia un fattore secondario, alla fine il punto centrare è arrivare a capire che il denominatore ha certamente un minimo appartenente ai reali positivi.
Ti ringrazio molto, pensavo non l'avrei mai risolto!
Di niente. Se ti perplime l'ultimo passaggio lo svisceriamo, infatti l'ultima disuguaglianza deriva semplicemente da $|\cos^2 \theta| \le 1$ e $|\sin^4 \theta | \le 1$ (lo scopo è ottenere una maggiorazione con una funzione che non dipenda da $\theta$).
"Seneca":
Di niente. Se ti perplime l'ultimo passaggio lo svisceriamo, infatti l'ultima disuguaglianza deriva semplicemente da $|\cos^2 \theta| \le 1$ e $|\sin^4 \theta | \le 1$ (lo scopo è ottenere una maggiorazione con una funzione che non dipenda da $\theta$).
Perfetto, mi hai dato un grande aiuto, non avevo compreso fino in fondo come si poteva ragionare con le limitazioni di questo tipo, ora ho molti spunti. Grazie ancora
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