Limite in due variabili con problema di maggiorazione
Ho provato a risolvere questo esercizio ma sto avendo delle difficoltà.
Devo studiare il limite per $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ di $$\frac{|y|^\alpha \sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$ al variare del parametro $\alpha$.
Vorrei farlo con le maggiorazioni.
Dato che $$sin(xy)\leq1$$ posso scrivere:
$$\frac{|y|^\alpha \sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}} \leq \frac{|y|^\alpha}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
Poi, $z^{3/2}$ è una funzione crescente quindi:
$$(x^2+y^2)^{3/2} \geq y^3 $$ cosicchè:
$$\frac{|y|^\alpha}{(x^2+y^2)^{3/2}} \leq \frac{|y|^\alpha}{y^{3}}$$
A questo punto seguendo il mio ragionamento ottengo:
$$\frac{|y|^\alpha}{y^{3}}=|y|^{\alpha - 3}$$
Quindi:
$$\frac{|y|^\alpha sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}} \leq |y|^{\alpha-3}$$
Ma è sbagliato, qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio? So risolverlo in coordinate polari ma vorrei farlo tramite maggiorazioni. Grazie.
Devo studiare il limite per $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ di $$\frac{|y|^\alpha \sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$ al variare del parametro $\alpha$.
Vorrei farlo con le maggiorazioni.
Dato che $$sin(xy)\leq1$$ posso scrivere:
$$\frac{|y|^\alpha \sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}} \leq \frac{|y|^\alpha}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
Poi, $z^{3/2}$ è una funzione crescente quindi:
$$(x^2+y^2)^{3/2} \geq y^3 $$ cosicchè:
$$\frac{|y|^\alpha}{(x^2+y^2)^{3/2}} \leq \frac{|y|^\alpha}{y^{3}}$$
A questo punto seguendo il mio ragionamento ottengo:
$$\frac{|y|^\alpha}{y^{3}}=|y|^{\alpha - 3}$$
Quindi:
$$\frac{|y|^\alpha sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}} \leq |y|^{\alpha-3}$$
Ma è sbagliato, qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio? So risolverlo in coordinate polari ma vorrei farlo tramite maggiorazioni. Grazie.
Risposte
Sbagli qui
L'uguaglianza che hai scritto è falsa in generale, basta pensare a cosa succede se $\alpha=2$ ed $y=-1$; le proprietà delle potenze valgono se la base è la stessa, al numeratore hai un modulo di una certa quantità ma al denominatore hai la quantità senza il modulo.
Suggerimento: Provare la stessa tattica ma notando che $|y|=\sqrt{y^2}$.
"ggffgg4":
$$\frac{|y|^\alpha}{y^{3}}=|y|^{\alpha - 3}$$
L'uguaglianza che hai scritto è falsa in generale, basta pensare a cosa succede se $\alpha=2$ ed $y=-1$; le proprietà delle potenze valgono se la base è la stessa, al numeratore hai un modulo di una certa quantità ma al denominatore hai la quantità senza il modulo.
Suggerimento: Provare la stessa tattica ma notando che $|y|=\sqrt{y^2}$.
Ciao grazie per il tuo aiuto, tuttavia continuo a non saperlo risolvere. Il mio libro dice che quel limite esiste e vale 0 se a>1 e non capisco come andare avanti.
Ciao ggffgg4,
Continuando dal suggerimento che ti è già stato dato si ha:
$|y|^{\alpha} = (sqrt{y^2})^{\alpha} <= (sqrt{x^2 + y^2})^{\alpha} = (x^2 + y^2)^{\alpha/2} $
Continuando dal suggerimento che ti è già stato dato si ha:
$|y|^{\alpha} = (sqrt{y^2})^{\alpha} <= (sqrt{x^2 + y^2})^{\alpha} = (x^2 + y^2)^{\alpha/2} $
Ciao, io continuo a non saper andare avanti mi ritrovo a questo punto:
$$\frac{(x^2+y^2)^{\alpha /2}}{y^3}$$ e non so proseguire.
Non capisco il suggerimento di introdurre quel $$x^2+y^2$$ io avevo pensato di fare così:
$$\frac{|y|^{\alpha}}{y^3}=\frac{(\sqrt{y^2})^{\alpha}}{y^3}=\frac{(y^2)^{\alpha /2}}{y^2y}=\frac{(y^2)^{(\alpha /2)-1}}{y}=\frac{y^{\alpha -2}}{y}=y^{\alpha -3}$$ che però è sbagliato.
$$\frac{(x^2+y^2)^{\alpha /2}}{y^3}$$ e non so proseguire.
Non capisco il suggerimento di introdurre quel $$x^2+y^2$$ io avevo pensato di fare così:
$$\frac{|y|^{\alpha}}{y^3}=\frac{(\sqrt{y^2})^{\alpha}}{y^3}=\frac{(y^2)^{\alpha /2}}{y^2y}=\frac{(y^2)^{(\alpha /2)-1}}{y}=\frac{y^{\alpha -2}}{y}=y^{\alpha -3}$$ che però è sbagliato.
Beh, parti da prima:
$ \frac{|y|^\alpha \sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{|y|^\alpha}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{(x^2 + y^2)^{\alpha/2}}{(x^2+y^2)^{3/2}} $
$ \frac{|y|^\alpha \sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{|y|^\alpha}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{(x^2 + y^2)^{\alpha/2}}{(x^2+y^2)^{3/2}} $
"pilloeffe":
Beh, parti da prima:
$ \frac{|y|^\alpha \sin(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{|y|^\alpha}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{(x^2 + y^2)^{\alpha/2}}{(x^2+y^2)^{3/2}} $
Però così facendo mi viene che tende a zero per $\alpha > 3$ e dovrebbe venire per $\alpha > 1$
In realtà si ha la catena di disuguaglianze seguente:
$ 0 <= |f(x,y)| = \frac{|y|^\alpha |sin(xy)|}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{(\sqrt{x^2 + y^2})^\alpha |xy|}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{(\sqrt{x^2 + y^2})^\alpha 1/2 (x^2 + y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}} = 1/2 (x^2 + y^2)^{(\alpha - 1)/2} $
$ 0 <= |f(x,y)| = \frac{|y|^\alpha |sin(xy)|}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{(\sqrt{x^2 + y^2})^\alpha |xy|}{(x^2+y^2)^{3/2}} <= \frac{(\sqrt{x^2 + y^2})^\alpha 1/2 (x^2 + y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}} = 1/2 (x^2 + y^2)^{(\alpha - 1)/2} $
Ciao pilloeffe, hai scritto $|xy|<1/2(x^2+y^2)$, da dove esce fuori?
"ggffgg4":
da dove esce fuori?
Da
$ (|x| - |y|)^2 >= 0 $
Ho capito grazie
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