Limite in due variabili con parametro
Ciao a tutti, sono di nuovo qui in cerca di risposte.
Devo risolvere questo limite discutendo $\alpha in RR$
$lim_{(x,y) \to (0,0)}{|x|^\alpha}/{x^4+y^2} y/sqrt{x^2+y^2}$
Ora passando in coordinate polari il limite esiste per $\alpha > 2$, però se faccio il test delle parabole mi viene fuori che il limite non esiste per $\alpha=3$ e per $\alpha <3$ diverge. Mi sembra che i due metodi si contraddicano per $\alpha in ]2,3]$. Ho omesso i vari passaggi perché li ho controllati un sacco di volte e sono piuttosto sicura che siano corretti, ma credo ci sia qualcosa che non ho ben compreso sui metodi e che mi sfugge!
Ringrazio chi vorrà aiutarmi
Devo risolvere questo limite discutendo $\alpha in RR$
$lim_{(x,y) \to (0,0)}{|x|^\alpha}/{x^4+y^2} y/sqrt{x^2+y^2}$
Ora passando in coordinate polari il limite esiste per $\alpha > 2$, però se faccio il test delle parabole mi viene fuori che il limite non esiste per $\alpha=3$ e per $\alpha <3$ diverge. Mi sembra che i due metodi si contraddicano per $\alpha in ]2,3]$. Ho omesso i vari passaggi perché li ho controllati un sacco di volte e sono piuttosto sicura che siano corretti, ma credo ci sia qualcosa che non ho ben compreso sui metodi e che mi sfugge!
Ringrazio chi vorrà aiutarmi
Risposte
Nessuno? 
Quando hai usato le coordinate cicliche hai dimostrato che il limite è uniforme in $\theta$?
Quando sono passata alle coordinate polari ho semplicemente visto che:
$lim_{\rho \to 0} (|\rho cos\theta|^{\alpha} sin\theta) / (\rho^4 cos^4\theta + \rho^2 sin^2\theta) = lim_{\rho \to 0} (\rho^(\alpha-2) |cos\theta|^{\alpha} sin\theta) / (\rho^2 cos^4\theta + sin^2\theta)$
E per $\alpha >2$ il limite è nullo per ogni $\theta$.
Il fatto di dimostrare che il limite debba essere uniforme, non l'ho mai fatto a dir la verità!
$lim_{\rho \to 0} (|\rho cos\theta|^{\alpha} sin\theta) / (\rho^4 cos^4\theta + \rho^2 sin^2\theta) = lim_{\rho \to 0} (\rho^(\alpha-2) |cos\theta|^{\alpha} sin\theta) / (\rho^2 cos^4\theta + sin^2\theta)$
E per $\alpha >2$ il limite è nullo per ogni $\theta$.
Il fatto di dimostrare che il limite debba essere uniforme, non l'ho mai fatto a dir la verità!
Premesso che, se $[\alpha gt= 0]$, la funzione è identicamente nulla sugli assi, considerando le restrizioni lungo una retta passante per l'origine e diversa dagli assi medesimi:
Quindi, se $[\alpha gt 4]$, il limite certamente esiste e vale $0$.
Altrimenti non puoi concludere. Per esempio, nel caso in esame, la maggiorazione di cui sopra non dipende da $m$. Inoltre, se $[\alpha lt 2]$:
In definitiva, bisogna inventarsi qualcosa per $[2 lt= \alpha lt= 4]$.
$[f(x,y)=|x|^\alpha/(x^4+y^2)y/sqrt(x^2+y^2)] ^^ [y=mx] rarr$
$rarr f(x,mx)=|x|^\alpha/(x^4+m^2x^2)(mx)/sqrt(x^2+m^2x^2) rarr$
$rarr f(x,mx)=|x|^\alpha/(x^4(1+m^2/x^2))(mx)/(|x|sqrt(1+m^2)) rarr$
$rarr f(x,mx)=|x|^(\alpha-1)/(x^3(1+m^2/x^2))m/sqrt(1+m^2) rarr$
$rarr |f(x,mx)| lt= |x|^(\alpha-4)$
Quindi, se $[\alpha gt 4]$, il limite certamente esiste e vale $0$.
"Sbrain":
... dimostrare che il limite debba essere uniforme ...
Altrimenti non puoi concludere. Per esempio, nel caso in esame, la maggiorazione di cui sopra non dipende da $m$. Inoltre, se $[\alpha lt 2]$:
$[f(x,mx)=|x|^(\alpha-1)/(x(x^2+m^2))m/sqrt(1+m^2)] rarr [lim_(x->0)f(x,mx)=+-oo]$
In definitiva, bisogna inventarsi qualcosa per $[2 lt= \alpha lt= 4]$.
"Sbrain":
Quando sono passata alle coordinate polari ho semplicemente visto che:
$lim_{\rho \to 0} (|\rho cos\theta|^{\alpha} sin\theta) / (\rho^4 cos^4\theta + \rho^2 sin^2\theta) = lim_{\rho \to 0} (\rho^(\alpha-2) |cos\theta|^{\alpha} sin\theta) / (\rho^2 cos^4\theta + sin^2\theta)$
E per $\alpha >2$ il limite è nullo per ogni $\theta$.
Il fatto di dimostrare che il limite debba essere uniforme, non l'ho mai fatto a dir la verità!
Eh, però devi farlo, perché sennò non è sufficiente per concludere niente, se ci pensi, verificare che il limite in coordinate polari non dipende da $\rho$ vuol dire solamente aver fatto la verifica del limite sulle rette, cosa che penso tu sappia bene che non è sufficiente.
Comunque@anonymous_0b37e9 ti ha fatto vedere come si fa a dimostrare che il limite è uniforme in $\theta$ per alcuni valori di $\alpha$.
"Sbrain":
... se faccio il test delle parabole ...
Se intendi il procedimento sottostante:
$[f(x,y)=|x|^\alpha/(x^4+y^2)y/sqrt(x^2+y^2)] ^^ [y=ax^2] rarr$
$rarr f(x,ax^2)=|x|^\alpha/(x^4+a^2x^4)(ax^2)/sqrt(x^2+a^2x^4) rarr$
$rarr f(x,ax^2)=|x|^\alpha/((1+a^2)x^4)(ax^2)/(|x|sqrt(1+a^2x^2)) rarr$
$rarr f(x,ax^2)=|x|^(\alpha-1)/((1+a^2)x^2)a/sqrt(1+a^2x^2)$
per $[\alpha lt= 3]$ la tua discussione è senz'altro corretta. A questo punto, anche se resta il solo intervallo $[3 lt \alpha lt= 4]$, non ho molte idee al riguardo.
Con test delle parabole intendevo esattamente fare la restrizione per $y=mx^2$.
Dunque per dimostrare l'uniformità dovrei maggiorare la funzione in valore assoluto con un'altra che non dipenda dal parametro?
Quindi se restringo la funzione posso dire quando il limite non esiste con certezza, ma non quando esiste.
Mentre se sto restringendo o se sono passata in coordinate polari, se riesco a maggiorare in valore assoluto con una funzione indipendente da $\theta$ o $m$ riesco a dire con certezza anche quando esiste. Giusto?
Le uniche maggiorazioni per $|f(\rho cos\theta, \rho sin\theta)|$ che mi vengono in mente mi portano ad affermare l'esistenza del limite per $\alpha > 4$ come accade per la restrizione $y=mx$ quindi non si è risolve nulla nemmeno con le coordinate polari
EDIT
Però è possibile procedere in questo modo?
$f(x,mx^2) = |x|^(\alpha -3) / (1+m^2) 1/(sqrt(1+m^2 x^2))$, $m/(1+m^2) < 1$ e anche $1/sqrt(1+m^2x^2) <1$
Quindi
$|f(x,mx^2)| <= |x|^(\alpha -3)$ e quindi il limite esisterebbe per $\alpha >3$ e non esisterebbe per $\alpha <= 3$.
Dunque per dimostrare l'uniformità dovrei maggiorare la funzione in valore assoluto con un'altra che non dipenda dal parametro?
Quindi se restringo la funzione posso dire quando il limite non esiste con certezza, ma non quando esiste.
Mentre se sto restringendo o se sono passata in coordinate polari, se riesco a maggiorare in valore assoluto con una funzione indipendente da $\theta$ o $m$ riesco a dire con certezza anche quando esiste. Giusto?
Le uniche maggiorazioni per $|f(\rho cos\theta, \rho sin\theta)|$ che mi vengono in mente mi portano ad affermare l'esistenza del limite per $\alpha > 4$ come accade per la restrizione $y=mx$ quindi non si è risolve nulla nemmeno con le coordinate polari
EDIT
Però è possibile procedere in questo modo?
$f(x,mx^2) = |x|^(\alpha -3) / (1+m^2) 1/(sqrt(1+m^2 x^2))$, $m/(1+m^2) < 1$ e anche $1/sqrt(1+m^2x^2) <1$
Quindi
$|f(x,mx^2)| <= |x|^(\alpha -3)$ e quindi il limite esisterebbe per $\alpha >3$ e non esisterebbe per $\alpha <= 3$.
"Sbrain":
... per dimostrare l'uniformità ...
... se restringo la funzione ...
... se sto restringendo o se sono passata in coordinate polari ...
Mi sembra una buona sintesi.
"Sbrain":
Però è possibile procedere in questo modo?
Premesso che, molto probabilmente, intendevi scrivere:
$f(x,mx^2)=|x|^(\alpha -3)/(1+m^2)m/(sqrt(1+m^2 x^2))$
direi proprio di sì.
Si effettivamente ho scritto male, non me n'ero nemmeno accorta. Bella, allora posso dire che abbiamo risolto l'esercizio xD
Grazie mille a tutti per il contributo, siete fantastici
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