Limite in due variabili con coordinate polari

[zio_mangrovia]

Non capisco in un esercizio il seguente sviluppo:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (1-cos sqrt(x^2+y^2))/(x^2+y^2)$

tradotto in coordinate polari:

$\lim_{(rho,theta) \to (0,0)} (1-cos sqrt(rho^2((costheta)^2+(sintheta)^2)))/(rho^2((costheta)^2+(sintheta)^2)=$
In questo caso quando si passa alle nuove coordinate $rho$ è sempre uguale a zero ? Mentre $theta$ può essere preso arbitrariamente?

$\lim_{(rho,theta) \to (0,0)} ((1-cos rho)/(rho^2))= 1/2$

Qua termina l'esercizio.
Mi rendo conto che è un limite notevole il cui risultato è $1/2$ ma per dimostrarne l'unicità non dovrei verificare che a tale risultato si arrivare anche con altre strade o con il teorema del confronto / Carabinieri ?

[Ernesto011]

Di solito si. Ma in questo caso hai fortuna che gli angoli vanno via dal limite da soli, e quindi i carabinieri non ti servono.

[zio_mangrovia]

"Ernesto01":Di solito si. Ma in questo caso hai fortuna che gli angoli vanno via dal limite da soli, e quindi i carabinieri non ti servono.

Quindi nel caso $theta$ rimanesse e sapessi che il limite non esiste, per dimostrarlo potrei prendere valori di $theta$ arbitrari (p.e. due valori diversi) mentre $rho=0$ e verificare che il valore dei due limiti siano differenti?

[Ernesto011]

Potresti provare, ma non è detto che riesci a risolvere in questo modo. Fissare $theta$ significa fissare una direzione, e poi fai il limite su quella direzione. Un limite può non esistere ma avere lo stesso valore se fatto su tutte le rette, e in questo caso la tua idea fallisce.
Ipotizzando che prendere $rho=0$ significa fare il limite per $rho \to 0$ , altrimenti non ha senso

[zio_mangrovia]

"Ernesto01":Potresti provare, ma non è detto che riesci a risolvere in questo modo. Fissare $theta$ significa fissare una direzione, e poi fai il limite su quella direzione. Un limite può non esistere ma avere lo stesso valore se fatto su tutte le rette, e in questo caso la tua idea fallisce.
Ipotizzando che prendere $rho=0$ significata fare ip limite per $rho /to 0$ , altrimenti non ha senso

Era per capire come affrontare in modo semplice la risoluzione del limite nel caso $theta$ non scomparisse, le alternative per dimostrare l'inesistenza del limite è di ottenere valori diversi ma come ? Farei tendere $rho$ sempre a $0$ e poi se con enne valori di $theta$ il limite non cambia, dovrei adottare un'altra strategia? Magari senza usare le coordinate polari?

[Ernesto011]

L'idea sarebbe quella di trovare due direzioni diverse e far vedere che in quelle due direzioni i limiti sono diversi, senza coordinate polari.

[dissonance]

Per favore, date una occhiata qui :

viewtopic.php?p=499363#p499363

grazie.

[Ernesto011]

A meno di qualche mia svista mi pare inopportuno citare quel topic, o per lo meno non contraddice quel che ho detto. Qui non c'è dipendenza da $theta$, da cui segue facilmente che quel limite è uniformemente $1/2$ al variare di $theta$.
Il dubbio dell'OP adesso sembrerebbe essere "come fare a dimostrare che un limite non esiste".