Limite in due variabili - Analisi II
Buonasera. Ho un problema con questo limite di Analisi II:
$ lim_((x,y)->(1,1)) (sin ((x - 1)^2 + sin^2 (y - 1))) / ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 ) $
Io l'ho iniziato cosi:
posto $ w = x - 1 $ e $ z = y - 1 $ si ha:
$ lim_((w,z)->(0,0)) (sin ((w)^2 + sin^2 (z))) / ((w)^2 + (z)^2 ) $
$ lim_((w,0)->(0,0)) (sin ((w)^2)) / ((w)^2) = 1 $
$ lim_((0,z)->(0,0)) (sin^(2)(z)) / (z)^2 = 1 $
$ lim_((w)->(0)) (sin ((w)^2 + sin^2 (mw))) / ((w)^2 + (mw)^2 ) $
$ lim_((w)->(0)) ((w)^2 + sin^2 (mw)) / ((w)^2 + (mw)^2 ) $ e qui mi sono bloccato, come fa a venire 1?
Forse ho sbagliato il cambio di variabili?
Il limite dovrebbe fare 1.
$ lim_((x,y)->(1,1)) (sin ((x - 1)^2 + sin^2 (y - 1))) / ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 ) $
Io l'ho iniziato cosi:
posto $ w = x - 1 $ e $ z = y - 1 $ si ha:
$ lim_((w,z)->(0,0)) (sin ((w)^2 + sin^2 (z))) / ((w)^2 + (z)^2 ) $
$ lim_((w,0)->(0,0)) (sin ((w)^2)) / ((w)^2) = 1 $
$ lim_((0,z)->(0,0)) (sin^(2)(z)) / (z)^2 = 1 $
$ lim_((w)->(0)) (sin ((w)^2 + sin^2 (mw))) / ((w)^2 + (mw)^2 ) $
$ lim_((w)->(0)) ((w)^2 + sin^2 (mw)) / ((w)^2 + (mw)^2 ) $ e qui mi sono bloccato, come fa a venire 1?
Forse ho sbagliato il cambio di variabili?
Il limite dovrebbe fare 1.
Risposte
alcune cose che si imparano in analisi1 valgono anche qui... se a $sin^2(mw)$ sostituisci $(mw)^2$ ottieni proprio $1$
Però, Krocket, non è molto utile ciò che stai facendo.
Se vuoi dimostrare che un limite in due variabili fa un certo valore, non puoi provarlo facendo "tanti " esempi.
L'esempio, o meglio il controesempio, si usa per verificare che un dato limite non esiste.
Per determinare che un limite esiste ci si serve di qualcosa d'altro, che senz'altro ben conoscerai
Se vuoi dimostrare che un limite in due variabili fa un certo valore, non puoi provarlo facendo "tanti " esempi.
L'esempio, o meglio il controesempio, si usa per verificare che un dato limite non esiste.
Per determinare che un limite esiste ci si serve di qualcosa d'altro, che senz'altro ben conoscerai
Gi8
E' un esercizio del test, devo scegliere tra 5 risposte tra cui una e' "NON esiste" quindi DEVO provarlo.
E' un esercizio del test, devo scegliere tra 5 risposte tra cui una e' "NON esiste" quindi DEVO provarlo.
walter89
Scusa, ma una sostituzione cosi non l'ho mai fatta, forse mi sfugge qualcosa, potresti farmi vedere tutto il passaggio, grazie.
Scusa, ma una sostituzione cosi non l'ho mai fatta, forse mi sfugge qualcosa, potresti farmi vedere tutto il passaggio, grazie.
Krocket, mai sentito parlare di confronto locale?
ciampax
"Evidenziare e sbarazzarsi delle cose inutili", in questo caso potrei levare $ w^2 $ al numeratore e al denominatore e viene 1, e' giusto?
"Evidenziare e sbarazzarsi delle cose inutili", in questo caso potrei levare $ w^2 $ al numeratore e al denominatore e viene 1, e' giusto?
No. Il confronto locale non lo applichi così. Dal momento che se $t\to 0$ allora $\sin t\sim t$ puoi scrivere
$\sin[w^2+\sin^2 z]\sim\sin[w^2+z^2]\sim\sin w^2+z^2$.
$\sin[w^2+\sin^2 z]\sim\sin[w^2+z^2]\sim\sin w^2+z^2$.
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