Limite in due variabili

[mufi91]

Calcolare se esiste il limite

\(\lim(x,y)→(0,0) \frac{(sin xy)^2 }{2x^2 + 3y^2}\)


Io ho ragionato così, ho fatto il passaggio a coordinate polari e mi viene \(\ \frac{(sin( p^2cos\Theta sin\Theta)^2 }{p^2(2cos\Theta^2+3sin\Theta^2}\)\)

il denominatore non dipende da teta, il numeratore sta tra -1 ed 1 (e più precisamente è 0 tendendo a 0 la p) e quindi il limite esiste.. è giusto? Come mi devo comportare quando ho il seno o il coseno nei limiti a due variabili, lo posso togliere?
grazie

[Lorin1]

Prima di passare a coordinate polari prova a vedere se è possibile applicare qualche limite notevole...di solito nei limiti con funzioni goniometriche puoi sempre semplificare con qualche limite notevole. Ad esempio, nel nostro caso puoi passare dal tuo limite iniziale a questo qui: $lim_((x,y)->(0,0))(xy)^2/(2x^2+3y^2)$, ora o ragioni in termine di distanza ricordando che $d(x,y),(0,0)=sqrt(x^2+y^2)$ oppure con le coordinate polari...

[mufi91]

Grazie mille per la tua risposta, l'unica cosa che non ho capito è come hai fatto a passare da (\(sinxy)2 \) a \(\displaystyle(xy)^2 \)

[Lorin1]

Poni per un attimo $t=(xy)$ allora puoi passare da $lim_((x,y)->(0,0))(sinxy)^2$ diventa $lim_(t->0)(sint)^2$ che dovrebbe essere per te una forma nota di un limite già studiato in analisi I, applica un confronto asintotico e troverai la riposta...

[mufi91]

Grazie mille gentilissimo.

[ale.b14]

si può fare anche senza limiti notevoli, ricordando soltanto che $|\sin(x)|<=x$ $\forall x\in\mathbb{R}$; infatti:

$\frac{|\sin^2(xy)|}{|2x^2+3y^2|}<=\frac{x^2y^2}{2x^2+3y^2}<=\frac{1}{2}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}<=\frac{1}{2}\frac{x^2y^2+y^4}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}y^2$