Limite in due variabili
come posso calcolare il $ lim _(( x,y) to + infty) x/ ( 1+x^2+ y^2) $ ?posso usare le coordinate polari ?
Risposte
Qual è il problema esattamente?
Di solito il problema con i limiti a più variabili è capire se esistono, cosa facile da stabilire di solito con i limiti in $\mathbb{R}$. Un metodo di esaminarli è far tendere le variabili a $0$ (in questo caso, dato che $(x,y)\to (0,0)$) con velocità diverse. Ci si domanda, ad esempio: cosa accade se $y=x^2$ ? O se $y=x^3$? Se per queste scelte il limite viene sempre lo stesso non si è dimostrato nulla, ma c'è ancora possibilità che il limite esista.
Un esempio di limite non esistente è
$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2}{(x^2+1)y}$ (basta vedere cosa accade per $y=x, y=x^2$
Nel tuo caso non importa quanto velocemente le variabili vadano a $0$ l'una rispetto all'altra, tanto il denominatore verrà sempre $1$ e il numeratore sempre $0$.
Paola
Di solito il problema con i limiti a più variabili è capire se esistono, cosa facile da stabilire di solito con i limiti in $\mathbb{R}$. Un metodo di esaminarli è far tendere le variabili a $0$ (in questo caso, dato che $(x,y)\to (0,0)$) con velocità diverse. Ci si domanda, ad esempio: cosa accade se $y=x^2$ ? O se $y=x^3$? Se per queste scelte il limite viene sempre lo stesso non si è dimostrato nulla, ma c'è ancora possibilità che il limite esista.
Un esempio di limite non esistente è
$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2}{(x^2+1)y}$ (basta vedere cosa accade per $y=x, y=x^2$
Nel tuo caso non importa quanto velocemente le variabili vadano a $0$ l'una rispetto all'altra, tanto il denominatore verrà sempre $1$ e il numeratore sempre $0$.
Paola
"prime_number":
Nel tuo caso non importa quanto velocemente le variabili vadano a $0$ l'una rispetto all'altra, tanto il denominatore verrà sempre $1$ e il numeratore sempre $0$.
Ciao Paola. Qui il limite è per $(x,y) -> +oo$...
il problema è calcolare il limite e chiedo come fare nel caso in cui tendano a infinito, se tendono a 0 so già come muovermi con le coordinate polari e invece se tendono a infinito non so se e come usarle le coordinate polari..
"nadia89":
come posso calcolare il $ lim _(( x,y) to + infty) x/ ( 1+x^2+ y^2) $ ?posso usare le coordinate polari ?
Proviamo con le coordinate polari:
$(rho * |cos(theta)|)/ ( 1 + rho^2) <= rho/( 1 + rho^2) -> 0$ per $rho -> +oo$.
Quindi $ lim _(rho to + infty) f(rho cos(theta) , rho sin(theta)) = 0$ uniformemente rispetto a $theta$.
Indipercui $ lim _(( x,y) to + infty) x/ ( 1+x^2+ y^2) = 0$ .
quindi pongo normalmente $x= \rho cos(theta) , y= rho sin(theta) $ e sostituendo i valori alla funzione calcolo il limite di $ \rho to + infty$?
E in caso le variabili sono 3? cioè $f(x,y,z)$?
E in caso le variabili sono 3? cioè $f(x,y,z)$?
Chiedo scusa per il mio errore (l'età avanza! 
).
Le variabili sono solo due comunque, $\rho, \theta$. La convergenza uniforme di cui parla Seneca è la storia della "velocità" di cui ti dicevo io.
Paola
).Le variabili sono solo due comunque, $\rho, \theta$. La convergenza uniforme di cui parla Seneca è la storia della "velocità" di cui ti dicevo io
.Paola
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo