Limite in due variabili.

[Jonhson91]

Una cosa semplicissima ma che non riesco a capire:

$ lim_(x,y->0,0) (x^2/(x^2+y^2)) $

Ora, per vedere se esiste ho sostituito la retta generica per l'origine y = mx , e mi viene questo:

$ lim_(x->0) (x^2/(x^2+(mx)^2))=1/(1+m^2) $

Ora io concluderei che il limite non esiste perchè varia in funzione di m, ed invece esiste e fa zero.
Mi dite dove sbaglio?

Grazie.

[dissonance]

Non sbagli, il limite non esiste. Ci sarà un errore nel testo o negli appunti che stai leggendo.

[Jonhson91]

No no, esiste. C'è sull'eserciziario e torna 0 anche con la mia TI-89 O.o

Qualcuno sa come svelare l'arcano?

[dissonance]

Ma no, non esiste. Sull'eserciziario c'è un errore di stampa e la TI89 è una macchina, non va presa come un oracolo per questo tipo di operazioni non algoritmiche.

Guarda, dimostriamolo in modo ancora più evidente: se tendiamo a \((0,0)\) lungo l'asse delle \(x\) (\(y=0\)), otteniamo \(1\), se facciamo la stessa operazione lungo l'asse delle \(y\) (\(x=0\)) otteniamo \(0\).

[Jonhson91]

"dissonance":Ma no, non esiste. Sull'eserciziario c'è un errore di stampa e la TI89 è una macchina, non va presa come un oracolo per questo tipo di operazioni non algoritmiche.

Guarda, dimostriamolo in modo ancora più evidente: se tendiamo a \((0,0)\) lungo l'asse delle \(x\) (\(y=0\)), otteniamo \(1\), se facciamo la stessa operazione lungo l'asse delle \(y\) (\(x=0\)) otteniamo \(0\).

Hai ragione.
Passanto in coordinate polari trall'altro viene $ [cos(alpha)]^2 $

Quando viene una cosa non dipendente dal raggio posso dire che non esiste?

[dissonance]

No. Quando si passa in coordinate polari \(\rho, \theta\) occorre calcolare il limite per \(\rho \to 0\) e se quest'ultimo esiste uniformemente rispetto a \(\theta\) allora il limite originario esiste. Altrimenti il limite originario non esiste.

in questa discussione si è parlato in dettaglio dell'argomento:

post499363.html#p499363