Limite in due variabili

[neri.p1]

il limite è
$lim_((x,y)->(1,1)) sin(x-y)/(x^2 - y^2)$ e dovrebbe tornare 1/2

io ho fatto prima di tutto una sostituzione: a=x-1, b=y-1:
$lim_((a,b)->(0,0)) sin((a+1)-(b+1))/((a+1)^2 - (b+1)^2)$ = $lim_((a,b)->(0,0)) sin(a-b)/(a^2-b^2+2a-2b)$

lavorando sul denominatore: $(a^2-b^2+2a-2b)=(a-b)(a+b)+2(a-b)$
e raccolgo (a-b): $(a-b)((a+b)+2)$
quindi ottengo
=$lim_((a,b)->(0,0)) sin(a-b)/(a-b)*1/(a+b+2)$

ora ricordando il limite in una variabile ho concluso che il primo fattore tende a 1 e il secondo a 1/2 quindi il limite torna 1/2.
Il mio dubbio rimane se sia corretto trattare il primo fattore come se fosse un limite a zero in una variabile... c'è un per renderlo più "matematicamente corretto" e concludere con più esattezza?
grazie!

[Gi81]

Forse conveniva fare un'altra sostituzione: ${(t=x-y),(u=x+y):}$
In questo modo abbiamo (ricordando che $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=t*u$)
$lim_((x,y)->(1,1)) sin(x-y)/(x^2 - y^2)= lim_((t,u)->(0,2)) sint/(t*u)=lim_((t,u)->(0,2)) sint/t* 1/u=1*1/2=1/2$

[neri.p1]

ok, avevo complicato il tutto per nulla! grazie!