Limite in due variabili
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y \arctan(x^2+y^2)}{x^2}[/tex]
devo verificare se il risultato è 0 (sto discutendo la continuità di una funzione).
quando passo alle coordinate polari mi esce questo:
[tex]\lim_{\rho \to 0} \sup_{\theta \in [0, 2\pi[ }\frac{\arctan \rho^2}{\rho} \, \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}[/tex] (con theta diverso da 90 e 270)
a questo punto mi chiedevo se fosse lecito discutere il limite per [tex](\rho, \theta) \to (0, \frac{\pi}{2})[/tex]. altrimenti come posso fare?
grazie a tutti
ps: scusate se si vede in piccolo, non so come fare per ingrandire
devo verificare se il risultato è 0 (sto discutendo la continuità di una funzione).
quando passo alle coordinate polari mi esce questo:
[tex]\lim_{\rho \to 0} \sup_{\theta \in [0, 2\pi[ }\frac{\arctan \rho^2}{\rho} \, \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}[/tex] (con theta diverso da 90 e 270)
a questo punto mi chiedevo se fosse lecito discutere il limite per [tex](\rho, \theta) \to (0, \frac{\pi}{2})[/tex]. altrimenti come posso fare?
grazie a tutti
ps: scusate se si vede in piccolo, non so come fare per ingrandire
Risposte
Prova a calcolare $\lim_{x\to 0+} f(x,\sqrt{x})$.
Prova a usare i moduli sfruttando il fatto che $arctan(x^2 +y^2) \leq x^2 +y^2 \leq x^2$ 
In generale quando studi i limiti in due (o più) variabili quello che devi verificare perchè il limite esista è la sua unicità, oltre a calcolarlo naturalmente. Geometricamente quello che intendo è che se pensi al limite come all'avvicinarsi al punto di interesse devi verificare che il valore sia lo stesso indipendentemente dalla direzione di "avvicinamento". Questo puoi farlo in vari modi. Uno di questi è quello che hai usato tu, cioè introdurre le coordinate polari centrate nel punto in questione e discutere al variare dell'angolo il risultato del limite per il raggio che va a zero. In quest'ottica calcolare il valore del limite per, ad esempio, [tex](r, \theta) \rightarrow (0, \pi /2)[/tex] ti può dare un'idea di quale sia il risultato, senza però dimostrarne l'unicità. Quella devi discuterla al variare di $\theta$.
Questa visione è molto naive e lungi dall'essere rigorosa.....però ti può dare un'idea un po' concreta del problema in questione.
Questa visione è molto naive e lungi dall'essere rigorosa.....però ti può dare un'idea un po' concreta del problema in questione.
"Gatto89":
$arctan(x^2 +y^2) \leq x^2 +y^2 \leq x^2$
Siamo sicuri dell'ultima disuguaglianza?
scusate, forse dovevo specificare prima.
questo è un esercizio svolto dal mio insegnante in classe, e per farlo ha usato le coordinate polari come ho scritto sopra. conosco il teorema che dice che [tex]\lim_{x \to x_0} f(x) = l \Leftrightarrow \lim_{x \in A \, x \to x_0} f(x) = l \; \forall A \subseteq X[/tex], però volevo capire se la mia idea era lecita o meno, perchè mi pare strano ci si debba ricondurre nuovamente a un limite in due variabili (a quel punto tanto valeva restare in x e y). in classe ha considerato il limite per $ \theta \to \pi / 2 $ e fatto vedere che va ad infinito per ogni $ \rho $, però in questo caso mi pare abbia considerato $ \rho $ come parametro e $ \theta $ come variabile.. sono questi giochetti che non riesco a capire: infatti se avessi considerato il limite per $ \rho \to 0 $ avrei dovuto concludere che dovrebbe andare a 0 per ogni $ \theta $ "fisso".. non ci capisco più niente
Gatto89, potrei concordare sulla prima delle due disuguaglianze (per curiosità, la ricavi da mclaurin o da altro?), ma non capisco perchè dovrebbe essere x^2 + y^2 < x^2, visto che ho solo termini positivi
vi ringrazio per le risposte (anche future
)
questo è un esercizio svolto dal mio insegnante in classe, e per farlo ha usato le coordinate polari come ho scritto sopra. conosco il teorema che dice che [tex]\lim_{x \to x_0} f(x) = l \Leftrightarrow \lim_{x \in A \, x \to x_0} f(x) = l \; \forall A \subseteq X[/tex], però volevo capire se la mia idea era lecita o meno, perchè mi pare strano ci si debba ricondurre nuovamente a un limite in due variabili (a quel punto tanto valeva restare in x e y). in classe ha considerato il limite per $ \theta \to \pi / 2 $ e fatto vedere che va ad infinito per ogni $ \rho $, però in questo caso mi pare abbia considerato $ \rho $ come parametro e $ \theta $ come variabile.. sono questi giochetti che non riesco a capire: infatti se avessi considerato il limite per $ \rho \to 0 $ avrei dovuto concludere che dovrebbe andare a 0 per ogni $ \theta $ "fisso".. non ci capisco più niente
Gatto89, potrei concordare sulla prima delle due disuguaglianze (per curiosità, la ricavi da mclaurin o da altro?), ma non capisco perchè dovrebbe essere x^2 + y^2 < x^2, visto che ho solo termini positivi
vi ringrazio per le risposte (anche future
)
Passando in coord polari, hai che
$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = l$ se e solo se $\lim_{\rho\to 0+} \text{sup}_{\theta\in [0,2\pi)} |f(x_0+\rho\cos\theta, y_0+\rho\sin\theta) - l| = 0$.
Di conseguenza, se il lim per $\theta\to \pi/2$ vale $+\infty$ per ogni $\rho > 0$ fissato, hai che il limite non può esistere finito.
$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = l$ se e solo se $\lim_{\rho\to 0+} \text{sup}_{\theta\in [0,2\pi)} |f(x_0+\rho\cos\theta, y_0+\rho\sin\theta) - l| = 0$.
Di conseguenza, se il lim per $\theta\to \pi/2$ vale $+\infty$ per ogni $\rho > 0$ fissato, hai che il limite non può esistere finito.
ok, questo è lo stesso svolgimento. ma se $ \rho $ tende a 0 come fai a dire "per ogni $\rho$ fissato"? $\rho $ è una variabile che tende a 0..
"Gugo82":
[quote="Gatto89"]$arctan(x^2 +y^2) \leq x^2 +y^2 \leq x^2$
Siamo sicuri dell'ultima disuguaglianza?[/quote]
Chiaramente no... andando di fretta ho sbagliato verso e quello giusto non è di utilità per la risoluzione quindi stendiamo un velo sul mio post precedente
@enr87: per ogni $\rho > 0$ fissato ti calcoli quel sup. Quando calcoli il sup (anche se è finito), $\theta$ scompare e ti rimane una funzione che dipende solo da $rho$. Solo dopo devi considerare il lim per $\rho to0+$.
ah, grazie.. mi pare di aver capito quello che mi sfuggiva.
c'è un altro esercizio simile che però non ho fatto in tempo a copiare del tutto, quindi è un po' campato per aria:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^2y}{x^4 + y^2}[/tex]
in coordinate polari diventa:
[tex]\lim_{\rho \to 0} \rho \; \frac{\cos^2 \theta \sin \theta}{\rho^2 cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0[/tex]
ora devo trovare il sup discutendo il valore di $\theta$ per vedere se il limite è sempre verificato. però non ho idee..
c'è un altro esercizio simile che però non ho fatto in tempo a copiare del tutto, quindi è un po' campato per aria:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^2y}{x^4 + y^2}[/tex]
in coordinate polari diventa:
[tex]\lim_{\rho \to 0} \rho \; \frac{\cos^2 \theta \sin \theta}{\rho^2 cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0[/tex]
ora devo trovare il sup discutendo il valore di $\theta$ per vedere se il limite è sempre verificato. però non ho idee..
Fai prima a valutare $f(x, x^2)$.
(è sempre per quel discorso che in classe l'ha fatto in coordinate polari..)
Mi sembra una perversione, comunque...
Per ogni $\rho > 0$ esiste $\theta \in (0,\pi/2)$ tale che
$\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \rho$.
Usa quel valore di $\theta$ per valutare la funzione.
(Si può dimostrare che quel valore realizza il sup a $\rho$ fissato.)
Per ogni $\rho > 0$ esiste $\theta \in (0,\pi/2)$ tale che
$\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \rho$.
Usa quel valore di $\theta$ per valutare la funzione.
(Si può dimostrare che quel valore realizza il sup a $\rho$ fissato.)
scusa, poi ieri mi sono rimesso a pensare al primo limite. stando a quanto mi hai detto dovrei ottenere una cosa di questo tipo (sorvolando sull'informalità):
[tex]\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\arctan \rho^2}{\rho} \, \infty = \infty[/tex]
è corretto?
poi ho fatto una domanda a cui non ho avuto risposta: come si arriva alla disuguaglianza $ \arctan (x^2 + y^2) \leq x^2 + y^2$ ?
[tex]\lim_{\rho \to 0^+} \frac{\arctan \rho^2}{\rho} \, \infty = \infty[/tex]
è corretto?
poi ho fatto una domanda a cui non ho avuto risposta: come si arriva alla disuguaglianza $ \arctan (x^2 + y^2) \leq x^2 + y^2$ ?
$arctan x \le x$ per ogni $x \ge 0$.
grazie.. per la prima domanda?
Ti riferisci a questo?
In tal caso, hai che
$\lim_{x\to 0+} f(x,\sqrt{x}) = lim_{x\to 0+} \frac{\arctan(x+x^2)}{x^{3/2}} = +\infty$.
"gac":
Prova a calcolare $\lim_{x\to 0+} f(x,\sqrt{x})$.
In tal caso, hai che
$\lim_{x\to 0+} f(x,\sqrt{x}) = lim_{x\to 0+} \frac{\arctan(x+x^2)}{x^{3/2}} = +\infty$.
Scusa, credo di aver capito a cosa ti riferissi.
Come dici tu, sorvolando sull'informalità, il concetto è quello.
Hai una funzione a valori estesi che vale sempre $+\infty$ (se la vuoi vedere così), quindi non può ammettere limite finito.
Come dici tu, sorvolando sull'informalità, il concetto è quello.
Hai una funzione a valori estesi che vale sempre $+\infty$ (se la vuoi vedere così), quindi non può ammettere limite finito.
ti ringrazio. per il secondo limite credo prenderò una strada diversa dalle coordinate polari (mi sembra troppo incasinato così), comunque ti so dire più tardi
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