Limite in due variabili

[Boppy]

Qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve questo limite?

lim
(x,y)->(0,0) (x sin(xy))/(2x^2+y^2)

Se fosse possibile col metodo delle rette, ma anche un altro.
Grazie mille!

[Asimov1]

Il metodo delle rette è utile solo se devi dimostrare che il limite non esiste. Poni y=m*x e verifichi che il limite "cambia" a seconda del valore di m ==> per l'unicità del limite, questo non esiste.
Se invece con tutti i valori di m possibili il limite "non cambia" non puoi concludere nulla... infatti potrebbe darsi che avvicinandoti lungo altre "strade" (ex. parabole y=m*x^2) il limite abbia valori "diversi"...

in questo caso usando il metodo delle rette si ha:

lim x sin (m*x^2) /( x^2*(2+m^2)) = lim x*m*x^2 / x^2*(2+m^2)
= lim m/(2+m^2) * x =
= 0 per ogni m
se non ho sbagliato i conti (anche se dubito di questo )

Bisogna quindi usare un altro metodo: di solito per funzioni in R^2 si usa il cambio di variabili x = p cos a ; y = p sin a (coord. cartesiane) Si deve verificare quindi che il limite per p --> 0 sia "unico" uniformmnte rispetto all'angolo a

In questo caso con la sostituzione in questione dovrebbe venire:

lim p cos(a)*sin(sin(a)*cos(a)) / 2cos(a)^2 + sin(a)^2

dato che cos(a)* etc... è limitata il limite dovrebbe essere 0

spero di non aver detto castronerie