Limite in due variabili
Salve a tutti.
Stavo affrontando da ieri questo limite ma non lo capisco molto bene.
Il limite è:
$lim_{(x,y)->(0,0)} (x^2sin(y)-ysin(x^2))/(y(x^6+y^6))$.
Per impostare una strada per la soluzione, io ho pensato o a passare alle coordinate polari oppure maggiorazioni ma in entrambi i casi, ottengo uno $0$ al numeratore e mi è venuto un dubbio perchè dai post da me precedentemente postati, mi è stato detto che devo far vedere che il limite sia indipendente da $theta$.
Vi posto i passaggi che ho fatto:
$|(rho^2cos(theta)sen(rhosen(theta))-rhosen(theta)sen(rho^2cos^2(theta)))/(rho(rho^6cos^6(theta)+rho^6sen^6(theta)))|<=|(rho^3cos^2(theta)sen(theta)-rho^3cos^2(theta)sin(theta))/(rho(rho^6cos^6(theta)+rho^6sen^6(theta)))|$ e il numeratore mi si annulla. Quindi verrebbe $<=0$. Posso concludere che quindi il limite esiste ed è $0$? Penso di no perchè non ho proprio dimostrato l'indipendenza da $theta$ a parer mio. Altrimenti, che cosa sbaglio? Perchè ho riprovato molte volte anche a fare maggiorazioni senza passare in polari ma il risultato è uguale.
Grazie mille a tutti e buon Ferragosto.
Stavo affrontando da ieri questo limite ma non lo capisco molto bene.
Il limite è:
$lim_{(x,y)->(0,0)} (x^2sin(y)-ysin(x^2))/(y(x^6+y^6))$.
Per impostare una strada per la soluzione, io ho pensato o a passare alle coordinate polari oppure maggiorazioni ma in entrambi i casi, ottengo uno $0$ al numeratore e mi è venuto un dubbio perchè dai post da me precedentemente postati, mi è stato detto che devo far vedere che il limite sia indipendente da $theta$.
Vi posto i passaggi che ho fatto:
$|(rho^2cos(theta)sen(rhosen(theta))-rhosen(theta)sen(rho^2cos^2(theta)))/(rho(rho^6cos^6(theta)+rho^6sen^6(theta)))|<=|(rho^3cos^2(theta)sen(theta)-rho^3cos^2(theta)sin(theta))/(rho(rho^6cos^6(theta)+rho^6sen^6(theta)))|$ e il numeratore mi si annulla. Quindi verrebbe $<=0$. Posso concludere che quindi il limite esiste ed è $0$? Penso di no perchè non ho proprio dimostrato l'indipendenza da $theta$ a parer mio. Altrimenti, che cosa sbaglio? Perchè ho riprovato molte volte anche a fare maggiorazioni senza passare in polari ma il risultato è uguale.
Grazie mille a tutti e buon Ferragosto.
Risposte
Ciao,
potresti giustificare i passaggi intermedi nella disuguaglianza che riporti?
Da quello che scrivi la funzione dovrebbe essere identicamente nulla:
$$ \frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)} = 0$$
in quanto:
$$ |\frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)}| >= 0$$ (per def di valore assoluto)
$$ |\frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)}| <= 0$$
e di conseguenza dedurresti quanto sopra, che è assurdo
---
hint: studia il limite avvicinandosi a (0,0) per direzioni particolari:
1) qual è il limite tendendo a (0,0) lungo x = 0?
2) qual è il limite tendendo a (0,0) lungo y = x?
potresti giustificare i passaggi intermedi nella disuguaglianza che riporti?
Da quello che scrivi la funzione dovrebbe essere identicamente nulla:
$$ \frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)} = 0$$
in quanto:
$$ |\frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)}| >= 0$$ (per def di valore assoluto)
$$ |\frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)}| <= 0$$
e di conseguenza dedurresti quanto sopra, che è assurdo
---
hint: studia il limite avvicinandosi a (0,0) per direzioni particolari:
1) qual è il limite tendendo a (0,0) lungo x = 0?
2) qual è il limite tendendo a (0,0) lungo y = x?
"Lampo1089":
Ciao,
potresti giustificare i passaggi intermedi nella disuguaglianza che riporti?
Da quello che scrivi la funzione dovrebbe essere identicamente nulla:
$$ \frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)} = 0$$
in quanto:
$$ |\frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)}| >= 0$$ (per def di valore assoluto)
$$ |\frac{x^2sin(y)-ysin(x^2)}{y(x^6+y^6)}| <= 0$$
e di conseguenza dedurresti quanto sopra, che è assurdo
Per riscrivere il numeratore, ho utilizzato la disuguaglianza: $|sint|<=|t|$ per entrambi i fattori che ci sono.
"Lampo1089":
hint: studia il limite avvicinandosi a (0,0) per direzioni particolari:
1) qual è il limite tendendo a (0,0) lungo x = 0?
2) qual è il limite tendendo a (0,0) lungo y = x?
Ho provato. Nel caso 1) mi viene $0$ e nel caso 2) mi viene $-oo$. Quindi essendo differenti concludo che il limite non esiste corretto?
In questo caso, non serve controllare avvvicinandosi con parabole? Cioè studiare il limite lungo $y=x^2$?
Hai fatto un po' un pasticcio con le disuguaglianze: c'è un modulo di una differenza, non è soltanto un modulo. Quindi non puoi applicare la disuguaglianza $|\sin t| \leq |t|$ separatamente ai due termini che si sottraggono nel modulo, ci sono facili controesempi che mostrano la falsità di questa affermazione.
Tipo, secondo il tuo ragionamento avresti che è sempre vera $|5 \sin x - 29 \sin y| \leq |5-29|=|-24|=24$ , ma ciò è palesemente falso se prendi $x=0$ e $y=\frac{\pi}{2}$ perché $|5\sin(0)-29\sin \frac{\pi}{2}|=|5\cdot0-29\cdot1|=|-29|=29>24$.
Ci sono pure dei prodotti in mezzo, insomma...è più difficile di come l'hai fatta tu.
Al massimo, nel caso generale puoi usare prima la disuguaglianza triangolare $|r-s|=|r+(-s)| \leq |r|+|-s|=|r|+|s|$ e poi applicare una disuguaglianza che conosci ai singoli termini $|r|$ e $|s|$; così è corretto, ma come vedi hai un segno più ora tra i due termini e quindi è ben diverso.
Il limite, se esiste, è unico (teorema di analisi 1, vale anche per limiti di funzioni di $n$ variabili). Quindi cosa concludi riguardo a queste due domande?
Tipo, secondo il tuo ragionamento avresti che è sempre vera $|5 \sin x - 29 \sin y| \leq |5-29|=|-24|=24$ , ma ciò è palesemente falso se prendi $x=0$ e $y=\frac{\pi}{2}$ perché $|5\sin(0)-29\sin \frac{\pi}{2}|=|5\cdot0-29\cdot1|=|-29|=29>24$.
Ci sono pure dei prodotti in mezzo, insomma...è più difficile di come l'hai fatta tu.
Al massimo, nel caso generale puoi usare prima la disuguaglianza triangolare $|r-s|=|r+(-s)| \leq |r|+|-s|=|r|+|s|$ e poi applicare una disuguaglianza che conosci ai singoli termini $|r|$ e $|s|$; così è corretto, ma come vedi hai un segno più ora tra i due termini e quindi è ben diverso.
"Gianluk3":
Ho provato. Nel caso 1) mi viene $0$ e nel caso 2) mi viene $-oo$. Quindi essendo differenti concludo che il limite non esiste corretto?
In questo caso, non serve controllare avvicinandosi con parabole? Cioè studiare il limite lungo $y=x^2$?
Il limite, se esiste, è unico (teorema di analisi 1, vale anche per limiti di funzioni di $n$ variabili). Quindi cosa concludi riguardo a queste due domande?
"Mephlip":
Il limite, se esiste, è unico (teorema di analisi 1, vale anche per limiti di funzioni di $n$ variabili). Quindi cosa concludi riguardo a queste due domande?
Che non esiste. Ho chiesto perchè in molti casi, si controlla anche lungo le parabole. Ma in questo caso sono già diversi quindi sarebbe superfluo.
"Mephlip":
Hai fatto un po' un pasticcio con le disuguaglianze: c'è un modulo di una differenza, non è soltanto un modulo. Quindi non puoi applicare la disuguaglianza $|\sin t| \leq |t|$ separatamente ai due termini che si sottraggono nel modulo, ci sono facili controesempi che mostrano la falsità di questa affermazione.
Tipo, secondo il tuo ragionamento avresti che è sempre vera $|5 \sin x - 29 \sin y| \leq |5-29|=|-24|=24$ , ma ciò è palesemente falso se prendi $x=0$ e $y=\frac{\pi}{2}$ perché $|5\sin(0)-29\sin \frac{\pi}{2}|=|5\cdot0-29\cdot1|=|-29|=29>24$.
Ci sono pure dei prodotti in mezzo, insomma...è più difficile di come l'hai fatta tu.
Al massimo, puoi usare prima la disuguaglianza triangolare $|r+(-s)| \leq |r|+|-s|=|r|+|s|$ e poi applicare la disuguaglianza del seno ai singoli termini; così è corretto, ma come vedi hai un segno più ora tra i due termini e quindi è ben diverso.
Ok capito. Grazie mille
"Gianluk3":
Che non esiste. Ho chiesto perchè in molti casi, si controlla anche lungo le parabole. Ma in questo caso sono già diversi quindi sarebbe superfluo.
Bravo, esatto. Non serve perché basta quel controesempio per far vedere che non esiste; non c'è necessità di considerare altre restrizioni. Prego!
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