Limite in due variabili
Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente limite:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(sin^2(xy)/(3x^2+2y^2))$.
E lo stesso anche per $(x,y)->+infty$.
Per quanto riguarda il caso $(x,y) \to (0,0)$:
Vedendo una forma al numeratore del tipo $sin(xy)$, mi era venuto in mente di utilizzare il procedimento cercando delle maggiorazioni, nello specifico $|sin(xy)|<=|xy|$ arrivando, facendo qualche passaggio a:
$..<=(xy)^2/(x^2+y^2)$.
Per continuare con le maggiorazioni, mi è venuta in mente quella per cui $x^2<=x^2+y^2 rArr x^2/(x^2+y^2) <=1$ e quindi unendo, ottenere:
$..<=(xy)^2/(x^2+y^2)<=y^2$ che per $(x,y) \to (0,0)$ va a $0$.
In caso fosse corretto fin qui come ragionamento, come potrei continuare? In caso fosse tutto errato, come dovrei approcciarlo? Inoltre, lo stesso procedimento varrebbe anche per il caso $(x,y)->+infty$?
Grazie mille.
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(sin^2(xy)/(3x^2+2y^2))$.
E lo stesso anche per $(x,y)->+infty$.
Per quanto riguarda il caso $(x,y) \to (0,0)$:
Vedendo una forma al numeratore del tipo $sin(xy)$, mi era venuto in mente di utilizzare il procedimento cercando delle maggiorazioni, nello specifico $|sin(xy)|<=|xy|$ arrivando, facendo qualche passaggio a:
$..<=(xy)^2/(x^2+y^2)$.
Per continuare con le maggiorazioni, mi è venuta in mente quella per cui $x^2<=x^2+y^2 rArr x^2/(x^2+y^2) <=1$ e quindi unendo, ottenere:
$..<=(xy)^2/(x^2+y^2)<=y^2$ che per $(x,y) \to (0,0)$ va a $0$.
In caso fosse corretto fin qui come ragionamento, come potrei continuare? In caso fosse tutto errato, come dovrei approcciarlo? Inoltre, lo stesso procedimento varrebbe anche per il caso $(x,y)->+infty$?
Grazie mille.
Risposte
Fondamentalmente è giusto, ora basta che concludi.
Cosa intendi con "ora basta che concludi"? dire che per $(x,y) to infty $ il limite è $+oo$?
No, il limite a $+\infty$ lascialo stare, dicevo concludi quello per $0$.
Okk.
Dato che $lim_{(x,y)to (0,0)} y^2 = 0$, per il teorema dei carabinieri va a $0$ anche la funzione di partenza.
Questo intendi per concludere?
Dato che $lim_{(x,y)to (0,0)} y^2 = 0$, per il teorema dei carabinieri va a $0$ anche la funzione di partenza.
Questo intendi per concludere?
Sì, è corretto. Specificherei però che, avendo considerato il modulo della funzione, sai già che il tutto è anche $\geq 0$; altrimenti il docente potrebbe pensare che non hai ben chiaro cosa sta succedendo.
Come già detto spesso, se non riporti il procedimento che hai fatto non possiamo aiutarti concretamente: non stiamo nella tua testa.
"Gianluk3":
Inoltre, lo stesso procedimento varrebbe anche per il caso $ (x,y)->+infty $?
Come già detto spesso, se non riporti il procedimento che hai fatto non possiamo aiutarti concretamente: non stiamo nella tua testa.
"Mephlip":
Come già detto spesso, se non riporti il procedimento che hai fatto non possiamo aiutarti concretamente: non stiamo nella tua testa.
Si certo lo so bene.
Nel caso $+oo$ non so bene come muovermi, perchè non posso più utilizzare la disuguaglianza $ |sin(xy)|<=|xy| $.
Non so se sto per sparare cavolate, ma l'unica cosa che mi viene in mente, è che $ lim_{(x,y)to +oo} sin^2(xy)$ non esiste ma non saprei come maggiorarlo/minorarlo. Però ecco, mi è venuto in mente perchè in una dimensione il limite del seno all'infinito non esiste. E dato che non esiste, non mi vengono in mente delle maggiorazioni plausibili. Voi come procedereste in questo caso?
In generale, i limiti all'infinito come approcciarli rispetto a quelli in $0$?
La disuguaglianza $|\sin t| \leq |t|$ vale per ogni $t \in \mathbb{R}$, quindi la puoi usare anche in questo caso (se serve).
I limiti all'infinito in due variabili sono per $\| (x,y) \| \to \infty$, ossia per $\sqrt{x^2+y^2} \to \infty$; quindi devi cercare di ricondurti alla quantità $\sqrt{x^2+y^2}$.
I limiti all'infinito in due variabili sono per $\| (x,y) \| \to \infty$, ossia per $\sqrt{x^2+y^2} \to \infty$; quindi devi cercare di ricondurti alla quantità $\sqrt{x^2+y^2}$.
"Mephlip":
La disuguaglianza $|\sin t| \leq |t|$ vale per ogni $t \in \mathbb{R}$, quindi la puoi usare anche in questo caso (se serve).
I limiti all'infinito in più variabili sono per $\| (x,y) \| \to \infty$, ossia per $\sqrt{x^2+y^2} \to \infty$; quindi devi cercare di ricondurti alla quantità $\sqrt{x^2+y^2}$.
Okk.
Ho provato a seguire questa strada ma non riesco ad arrivare a $ \sqrt{x^2+y^2} $:
$ |sin^2(xy)/(3x^2+2y^2)|<= (|sin^2(xy)|)/(|x^2+y^2|) <= |(xy)^2|/(x^2+y^2)<=1/4(x^2+y^2)^2/(x^2+y^2)$.
Però, ho pensato anche che $1/sqrt{x^2+y^2} >= 1/(x^2+y^2)$, quindi un'altra strada sarebbe:
$ |sin^2(xy)/(3x^2+2y^2)|<= (|sin^2(xy)|)/(|x^2+y^2|) <= |(xy)^2|/(x^2+y^2)<=1/4(x^2+y^2)^2/(x^2+y^2) <= 1/4 (x^2+y^2)^2/(sqrt{x^2+y^2} ) = 1/4sqrt(x^2+y^2) -> +oo$.
Quindi per il teorema dei carabinieri, anche $ \lim_{(x,y) \to +oo}(sin^2(xy)/(3x^2+2y^2)) = +oo$?
Può andare come ragionamento e strada da seguire?
No, hai che a sinistra è minore o uguale di una quantità che tende a $\infty$, non puoi concludere con il confronto che allora anch'essa diverge; hai la disuguaglianza nel verso sbagliato, ti serve maggiore o uguale di una quantità che tende a $\infty$ se vuoi dimostrare che il limite è $\infty$.
Suggerimento: $|\sin t| \leq 1$ per ogni $t \in \mathbb{R}$ e $3x^2+2y^2 \geq 2x^2+2y^2=2(x^2+y^2)=2(\sqrt{x^2+y^2})^2$.
Suggerimento: $|\sin t| \leq 1$ per ogni $t \in \mathbb{R}$ e $3x^2+2y^2 \geq 2x^2+2y^2=2(x^2+y^2)=2(\sqrt{x^2+y^2})^2$.
"Mephlip":
No, hai che a sinistra è minore o uguale di una quantità che tende a $\infty$, non puoi concludere con il confronto che allora anch'essa diverge; hai la disuguaglianza nel verso sbagliato, ti serve maggiore o uguale di una quantità che tende a $\infty$ se vuoi dimostrare che il limite è $\infty$.
Suggerimento: $|\sin t| \leq 1$ per ogni $t \in \mathbb{R}$ e $3x^2+2y^2 \geq 2x^2+2y^2=2(x^2+y^2)=2(\sqrt{x^2+y^2})^2$.
Grazie mille per l'aiuto.
Quindi quando ho limiti all'infinito mi conviene usare$ |\sin t| \leq 1 $ anzichè $ |\sin t| \leq |t| $ corretto?
Prego! No, non direi: nel senso, ci sono infiniti limiti e non mi sento di dire che, nel caso di limiti in cui $\sqrt{x^2+y^2} \to \infty$, sia sempre più conveniente maggiorare il modulo del seno con $1$ piuttosto che maggiorare il modulo del seno col modulo del suo argomento. Dipende sempre da caso a caso.
Se posso darti un consiglio, non cercare troppo spesso questo tipo di "scorciatoie": va bene ragionare su un problema e capire perché una certa strategia ha funzionato, per poterla ripetere in casi uguali o casi simili in cui il punto focale del problema ha una natura simile a un problema che abbiamo già risolto, tuttavia è sempre meglio avere più creatività possibile e non porsi delle "tendenze cognitive". Spesso ci incastriamo su un problema perché pensiamo che un approccio già visto funzioni e non ci apriamo a nuove strategie, quando invece (dalla mia esperienza) ho iniziato a risolvere molto meglio i problemi quando, vedendo che un certo tipo di strategia non funzionava, ho fatto di tutto per alienarmi da quel tipo di strategia e spesso ciò ha funzionato.
Se posso darti un consiglio, non cercare troppo spesso questo tipo di "scorciatoie": va bene ragionare su un problema e capire perché una certa strategia ha funzionato, per poterla ripetere in casi uguali o casi simili in cui il punto focale del problema ha una natura simile a un problema che abbiamo già risolto, tuttavia è sempre meglio avere più creatività possibile e non porsi delle "tendenze cognitive". Spesso ci incastriamo su un problema perché pensiamo che un approccio già visto funzioni e non ci apriamo a nuove strategie, quando invece (dalla mia esperienza) ho iniziato a risolvere molto meglio i problemi quando, vedendo che un certo tipo di strategia non funzionava, ho fatto di tutto per alienarmi da quel tipo di strategia e spesso ciò ha funzionato.
"Mephlip":
Prego! No, non direi: nel senso, ci sono infiniti limiti e non mi sento di dire che, nel caso di limiti in cui $\sqrt{x^2+y^2} \to \infty$, sia sempre più conveniente maggiorare il modulo del seno con $1$ piuttosto che maggiorare il modulo del seno col modulo del suo argomento. Dipende sempre da caso a caso.
Se posso darti un consiglio, non cercare troppo spesso questo tipo di "scorciatoie": va bene ragionare su un problema e capire perché una certa strategia ha funzionato, per poterla ripetere in casi uguali o casi simili in cui il punto focale del problema ha una natura simile a un problema che abbiamo già risolto, tuttavia è sempre meglio avere più creatività possibile e non porsi delle "tendenze cognitive". Spesso ci incastriamo su un problema perché pensiamo che un approccio già visto funzioni e non ci apriamo a nuove strategie, quando invece (dalla mia esperienza) ho iniziato a risolvere molto meglio i problemi quando, vedendo che un certo tipo di strategia non funzionava, ho fatto di tutto per alienarmi da quel tipo di strategia e spesso ciò ha funzionato.
Perfetto grazie mille!
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