Limite in due variabili
Buon sabato a tutti
Apro questa discussione per chiedere lumi riguardo la definizione di limite in due variabili.
Svolgendo un esercizio guidato mi sono accorto di non aver ben compreso qualcosa della parte teorica, infatti nel processo risolutivo il professore segue questa linea: volendo calcorare il limite in (a,b) scrive nei vari ragionamenti svolge uno studio fissando b e percorrendo il limite sulla retta (mantenendo cioè variabile a) insomma qualcosa tipo $lim_((x,y)->(x,b))$
Ora, effettivamente la definizione richiede che la funzione esista in un intorno bucato, però non capisco cosa mi impedisca di rilassare le richieste e definire il limiteper funzioni ad esempio non definite in tutto (x,b), ossia su di una retta.
Il dubbio mi è sorto perché leggendo lo svolgimento non capivo per quale motivo potessi fissare b e tenere x variabile (x,b) e cadevo nell'errore dicendo: come si può fare questo ragionamento se in b non esiste, dunque riflettendoci ho pensato che appunto vi fosse la richiesta di un intorno bucato. Tuttavia non capisco perché non sia possibile intendere un limite di una funzione non dfinita per tutto (x,b).
Questo problema in effetti non si poneva per quelle a una variabile poiché la non esistenza era in un punto, non avendo un piano ma una retta.
Ringrazio per l'aiuto.
Apro questa discussione per chiedere lumi riguardo la definizione di limite in due variabili.
Svolgendo un esercizio guidato mi sono accorto di non aver ben compreso qualcosa della parte teorica, infatti nel processo risolutivo il professore segue questa linea: volendo calcorare il limite in (a,b) scrive nei vari ragionamenti svolge uno studio fissando b e percorrendo il limite sulla retta (mantenendo cioè variabile a) insomma qualcosa tipo $lim_((x,y)->(x,b))$
Ora, effettivamente la definizione richiede che la funzione esista in un intorno bucato, però non capisco cosa mi impedisca di rilassare le richieste e definire il limiteper funzioni ad esempio non definite in tutto (x,b), ossia su di una retta.
Il dubbio mi è sorto perché leggendo lo svolgimento non capivo per quale motivo potessi fissare b e tenere x variabile (x,b) e cadevo nell'errore dicendo: come si può fare questo ragionamento se in b non esiste, dunque riflettendoci ho pensato che appunto vi fosse la richiesta di un intorno bucato. Tuttavia non capisco perché non sia possibile intendere un limite di una funzione non dfinita per tutto (x,b).
Questo problema in effetti non si poneva per quelle a una variabile poiché la non esistenza era in un punto, non avendo un piano ma una retta.
Ringrazio per l'aiuto.
Risposte
Ciao! Provo a rispondere, sperando di aver capito quale sia il tuo dubbio.
Una parte della definizione di limite richiede: per ogni $(x,y) \in \text{dom}(f) \cap I_{(a,b)} \setminus \{(a,b)\}$, ossia non è concesso che simultaneamente siano $x=a$ e $y=b$ (con $I_{(a,b)}$ intendo un intorno di $(a,b)$).
Invece le singole coordinate $x$ e $y$ possono essere chi vogliono, compresi $a$ e $b$ (il tutto, ovviamente, se i punti ottenuti fissando le singole coordinate appartengono al dominio di $f$).
Credo che il motivo sia il seguente: tu sei interessato a sapere cosa succede quando la distanza euclidea di $(x,y)$ da $(a,b)$ è più piccola di un certo $\delta_{\varepsilon}$ indipendentemente dalla direzione lungo la quale ti avvicini al punto di accumulazione $(a,b)$; quindi non ha molto senso, in un sottoinsieme del piano $\mathbb{R}^2$, escludere arbitrariamente direzioni per quello che noi vogliamo intendere come definizione di limite.
Parti dal presupposto poi che, tipicamente, i ragionamenti fatti fissando una direzione servono per mostrare che il limite non esiste (oppure servono, utilizzando l'unicità del limite, per avere un'idea di qual è il limite se esiste).
Comunque, ti consiglio caldamente di aspettare pareri più esperti del mio: specialmente sulla parte riguardo al rilassare la definizione di limite.
"austalopitechio":
Il dubbio mi è sorto perché leggendo lo svolgimento non capivo per quale motivo potessi fissare b e tenere x variabile (x,b) e cadevo nell'errore dicendo: come si può fare questo ragionamento se in b non esiste
Una parte della definizione di limite richiede: per ogni $(x,y) \in \text{dom}(f) \cap I_{(a,b)} \setminus \{(a,b)\}$, ossia non è concesso che simultaneamente siano $x=a$ e $y=b$ (con $I_{(a,b)}$ intendo un intorno di $(a,b)$).
Invece le singole coordinate $x$ e $y$ possono essere chi vogliono, compresi $a$ e $b$ (il tutto, ovviamente, se i punti ottenuti fissando le singole coordinate appartengono al dominio di $f$).
"austalopitechio":
Tuttavia non capisco perché non sia possibile intendere un limite di una funzione non dfinita per tutto (x,b).
Questo problema in effetti non si poneva per quelle a una variabile poiché la non esistenza era in un punto, non avendo un piano ma una retta.
Credo che il motivo sia il seguente: tu sei interessato a sapere cosa succede quando la distanza euclidea di $(x,y)$ da $(a,b)$ è più piccola di un certo $\delta_{\varepsilon}$ indipendentemente dalla direzione lungo la quale ti avvicini al punto di accumulazione $(a,b)$; quindi non ha molto senso, in un sottoinsieme del piano $\mathbb{R}^2$, escludere arbitrariamente direzioni per quello che noi vogliamo intendere come definizione di limite.
Parti dal presupposto poi che, tipicamente, i ragionamenti fatti fissando una direzione servono per mostrare che il limite non esiste (oppure servono, utilizzando l'unicità del limite, per avere un'idea di qual è il limite se esiste).
Comunque, ti consiglio caldamente di aspettare pareri più esperti del mio: specialmente sulla parte riguardo al rilassare la definizione di limite.
Ti ringrazio per la risposta. Devo dire che ero giunto alle stesse giustificazioni e quindi concordo pienamente.
Mi scuso inoltre per la domanda stupidotta, solo che quando leggo una definizione mi piace capire perché è così e non cosà
Mi scuso inoltre per la domanda stupidotta, solo che quando leggo una definizione mi piace capire perché è così e non cosà
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