Limite in due variabili

[AnalisiZero]

Ciao,

Ho problemi con un limite in due variabili:
$lim_((h,k) to (0,0))(arctan(h+2k)-h-2k)/(sqrt(h^2+k^2))$
Secondo le slides dovrebbe dare 0. Però facendo dei conti ho notato che dividendo numeratore e denominatore per $(h+2k)$ trovo che il nuovo numeratore tende a 0, mentre il nuovo denominatore non ha limite (coordinate polari). Il ché mi porterebbe a dire che il limite iniziale non esiste.
Dov'è l'errore?

[anto_zoolander]

CIao!

Considera che $arctan(x)-x=-x^3/3+o(x^3)$
Definitivamente intorno a $(0,0)$ la quantità $h+2k$ sta in un intorno di $0$ quindi

$arctan(h+2k)-(h+2k)=-1/3(h+2k)^3+o(h+2k)$

[AnalisiZero]

Grazie.
Ma cosa mi ha fatto sbagliare nel mio procedimento? Perché in fin dei conti ho solo diviso numeratore e denominatore per una stessa quantità.

[anto_zoolander]

Nemmeno in $lim_(x->+infty)x/(sinx)$ il denominatore ammette limite, eppure complessivamente esiste.
In generale non è detto che se in un prodotto una delle sue funzioni non ammette limite, allora non esiste il limite del prodotto.
Tutt’al più è al contrario, prova a vedere per contronominale i temoremi algebrici sui limiti

[Mephlip]

"anto_zoolander":Nemmeno in $lim_(x->+infty)x/(sinx)$ il denominatore ammette limite, eppure complessivamente esiste.

Sicuro anto_zoolander? Non mi torna che $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sin x}$ esista Sicuramente è un typo!

[AnalisiZero]

In effetti in $lim_(x to +infty)(senx)/x$ il numeratore non ammette limite, eppure il limite nel complesso esiste e vale $0$.

[anto_zoolander]

si meph ho sbagliatissimo intendevo $lim_(x->+infty)(sinx)/x$, grazie per avermelo fatto notare Infatti il numeratore non ammette limite, ma complessivamente tende a $0$ perchè si ha un infinitesimo per una funzione limitiata.