Limite in due variabili

[SalvatCpo]

$ lim_(x -> 0, y->0)
ln^2(x+1)/(x+y) $

Ho provato con il metodo delle coordinate polari ma non si può minorare il denominatore.

Il risultato è 0. Come lo ottengo?

A me verrebbe da dire che al numeratore c'è un logaritmo e quindi, per gerarchia di infinitesimi, la frazione dà come risultato 0, ma non so se è lecito fare questi discorsi nei limiti a due variabili.

Grazie in anticipo.

[marco.ve1]

Prova a usare che $ln(1+x)$ è asintotico a $x$ in 0

[Studente Anonimo]

"SalvatCpo":
Il risultato è $0$. Come lo ottengo?

Veramente, il limite non esiste. Per esempio:

Restrizione 1

$[f(x,y)=ln^2(x+1)/(x+y)] ^^ [y=0] rarr$

$rarr [f(x,0)=ln^2(x+1)/x] ^^ [lim_(x->0)ln^2(x+1)/x=0]$

Restrizione 2

$[f(x,y)=ln^2(x+1)/(x+y)] ^^ [y=x^3-x] rarr$

$rarr [f(x,x^3-x)=ln^2(x+1)/x^3] ^^ [lim_(x->0)ln^2(x+1)/x^3=oo]$

[pilloeffe]

Ciao SalvatCpo,

Per dimostrare che il limite non esiste, come ti ha già scritto Sergeant Elias, puoi anche semplicemente considerare $y = ax^2 - x $:

$ lim_{(x, y) \to (0,0)} ln^2(x+1)/(x+y) = lim_{x \to 0} ln^2(1+x)/(x+ax^2 - x) = lim_{x \to 0} ln^2(1+x)/(ax^2) = 1/a $

Si vede chiaramente che il risultato del limite dipende da $a$.