Limite in due variabili
Buongiorno,
vorrei porvi una domanda che mi ponevo e non capisco dove sbaglio.
SO che questo limite non esiste, lo verifico facilmente scegliendo due percorsi differenti, il problema è che risolvendolo con le maggiorazioni mi sembra funzionare, ma probabilmente faccio qualcosa di non lecito che non riesco a vedere:
$lim_((x,y)->(0,0)) (sin(xy^4))/(x^3+y^6) =lim_((x,y)->(0,0)) (xy^4)/(x^3+y^6)$
Applico quindi questo confronto:
$|(xy^4)/(x^3+y^6)|=(|x|y^4)/(|x^3|+y^6)=(|x|y^4)/(|x|*x^2+y^6)$ a questo punto maggioro "togliendo" y^6 poiché quantità positiva così come x^2 che è positiva e rimane $<=(|x|y^4)/|x|$ e semplificando rimane y^4 che per y->0 essa tende a zero.
=> il limite vale 0
Grazie!
vorrei porvi una domanda che mi ponevo e non capisco dove sbaglio.
SO che questo limite non esiste, lo verifico facilmente scegliendo due percorsi differenti, il problema è che risolvendolo con le maggiorazioni mi sembra funzionare, ma probabilmente faccio qualcosa di non lecito che non riesco a vedere:
$lim_((x,y)->(0,0)) (sin(xy^4))/(x^3+y^6) =lim_((x,y)->(0,0)) (xy^4)/(x^3+y^6)$
Applico quindi questo confronto:
$|(xy^4)/(x^3+y^6)|=(|x|y^4)/(|x^3|+y^6)=(|x|y^4)/(|x|*x^2+y^6)$ a questo punto maggioro "togliendo" y^6 poiché quantità positiva così come x^2 che è positiva e rimane $<=(|x|y^4)/|x|$ e semplificando rimane y^4 che per y->0 essa tende a zero.
=> il limite vale 0
Grazie!
Risposte
Ciao gueridon,
Riguarda e correggi il tuo quesito, perché hai scritto delle cose un po' assurde:
Cosa significa ? Se $(x, y) \to (0, 0) $ il risultato del limite, ammesso e non concesso che esista, non può contenere ancora $x $ e $y $ (che tendono a zero...)
Riguarda e correggi il tuo quesito, perché hai scritto delle cose un po' assurde:
"gueridon":
$ lim_((x,y) \to (0,0)) (sin(x))/(x^3+y^6) = (xy^4)/(x^3+y^6) $
Cosa significa ? Se $(x, y) \to (0, 0) $ il risultato del limite, ammesso e non concesso che esista, non può contenere ancora $x $ e $y $ (che tendono a zero...)
Scusa ma non mi ero accorto rileggendo che avevo saltato un pezzo del testo, ora dovrebbe essere giusto: il primo passaggio è una equivalenza asintotica e non il risultato.
"gueridon":
Applico quindi questo confronto:
$|(xy^4)/(x^3+y^6)|=(|x|y^4)/(|x^3|+y^6)$
Quindi secondo te $|x^3+y^6|=|x^3|+y^6$. Per \(y=1, x=-1\) questo implica che
\[
0=2, \]
assurdo.
Quel passaggio è sbagliato.
Ma poi se hai trovato che esistono due restrizioni convergenti a limiti diversi e sei in uno spazio di Hausdorff(quindi il limite se esiste è unico) perchè dovresti continuare?
@ anto: no infatti è perfettamente inutile, solo che a colpo d'occhio mi ero accorto che qualcosa non andava e capivo di fare un errore, solo che non lo vedevo. Ma sono semplicemente stupido come mi ha fatto giustamente notare dissonance che ringrazio moltissimo.
"gueridon":
@ anto: no infatti è perfettamente inutile, solo che a colpo d'occhio mi ero accorto che qualcosa non andava e capivo di fare un errore, solo che non lo vedevo. Ma sono semplicemente stupido come mi ha fatto giustamente notare dissonance che ringrazio moltissimo.
Prego. Fai bene a porti domande e a cercare di risolvere i problemi in vari modi diversi. Non ti preoccupare di sbagliare, sbagliando si impara.
Quanto al resto, è una nuova domanda completamente scollegata con questa, quindi meglio aprire un nuovo topic.
@ dissonance, grazie del suggerimento: ho scorporato qui: viewtopic.php?f=36&t=186701 e modificato il messaggio sopra.
Mi sembrava di essere meno rompi scatole ad aprire meno topic in poco tempo. Scusa l'errore!:)
Mi sembrava di essere meno rompi scatole ad aprire meno topic in poco tempo. Scusa l'errore!:)
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