Limite in due variabili
ciao a tutti ho dei problemi nel risolvere questo limite. Il libro dice che non esiste ma sostituendo le coordinate polari mi viene 0.
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Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto in analisi di base.[/xdom]
Si puo sostituire come asintotico $sin (xy)~~(xy)$ , comunque credo che il limite non esista, prova infatti a calcolarlo per $y=x$, e dopo per $y=x^2$, credo si ottengano due risultati diversi, quindi....
"francicko":
Si puo sostituire come asintotico $sin (xy)~~(xy)$ , comunque credo che il limite non esista, prova infatti a calcolarlo per $y=x$, e dopo per $y=x^2$, credo si ottengano due risultati diversi, quindi....
ma il risultato di entrambi è zero!!
Utilizzando l'osservazione di francicko, puoi risolvere equivalentemente il limite $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2+y^4}$. Passando in coordinate polari, ottieni:
$$0 \leq \Bigg \lvert \frac{\rho^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{\rho^2 \sin^2 \theta + \rho^4 \cos^4 \theta} \Bigg \rvert = \frac{\rho \sin^2 \theta \lvert \cos \theta \rvert}{ \sin^2 \theta + \rho^2 \cos^4 \theta} \leq \frac{\rho \sin^2 \theta \lvert \cos \theta \rvert}{\sin^2 \theta} = \rho \lvert \cos \theta \rvert \leq \rho \to 0$$
$$0 \leq \Bigg \lvert \frac{\rho^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{\rho^2 \sin^2 \theta + \rho^4 \cos^4 \theta} \Bigg \rvert = \frac{\rho \sin^2 \theta \lvert \cos \theta \rvert}{ \sin^2 \theta + \rho^2 \cos^4 \theta} \leq \frac{\rho \sin^2 \theta \lvert \cos \theta \rvert}{\sin^2 \theta} = \rho \lvert \cos \theta \rvert \leq \rho \to 0$$
x@giacomo1.
Si scusa hai ragione, infatti il limite risulta $0$, conviene fare come ha giustamente illustrato @Antimius, cioè passare alla rappresentazione in coordinate polari, e poi applicando il teorema dei carabinieri , dalla diseguaglianza dedurre che il limit vale $0$.
Si scusa hai ragione, infatti il limite risulta $0$, conviene fare come ha giustamente illustrato @Antimius, cioè passare alla rappresentazione in coordinate polari, e poi applicando il teorema dei carabinieri , dalla diseguaglianza dedurre che il limit vale $0$.
"francicko":
x@giacomo1.
Si scusa hai ragione, infatti il limite risulta $0$, conviene fare come ha giustamente illustrato @Antimius, cioè passare alla rappresentazione in coordinate polari, e poi applicando il teorema dei carabinieri , dalla diseguaglianza dedurre che il limit vale $0$.
ma il limite non esiste.. scusate non sto capendo
Il limite esiste e vale zero, il procedimento corretto è quello illustrato da @Antimius, con il passaggio alle coordinate polari, con $rho->0 $, dalla diseguaglianza e dal teorema dei due carabinieri si deduce che il limite è $0$.
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