Limite in due variabili
Stavo calcolando il limite:
$lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 + y^2)/(x^2 - y^2)$
Passando in coordinate polari:
$ x = rho cos theta $
$ y = rho sin theta $
Il limite si riconduce a:
$ lim_(rho -> 0^+) 1/ (cos theta - sin theta) $
Siccome il limite dipende da $theta$ possiamo concludere che non esiste il limite per la funzione in $(0,0)$
Poi mi sono accorto che ciò si poteva osservare semplicemente calcolando i limiti lungo gli assi:
$ lim_(x -> 0) f(x,0) = 1$
$ lim_(y -> 0) f(0,y) = -1$
Corretto?
$lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 + y^2)/(x^2 - y^2)$
Passando in coordinate polari:
$ x = rho cos theta $
$ y = rho sin theta $
Il limite si riconduce a:
$ lim_(rho -> 0^+) 1/ (cos theta - sin theta) $
Siccome il limite dipende da $theta$ possiamo concludere che non esiste il limite per la funzione in $(0,0)$
Poi mi sono accorto che ciò si poteva osservare semplicemente calcolando i limiti lungo gli assi:
$ lim_(x -> 0) f(x,0) = 1$
$ lim_(y -> 0) f(0,y) = -1$
Corretto?
Risposte
Esatto.
Come ha già detto l'altro utente è ESATTO!..
ma ti do solo un suggerimento..
la prossima volta, per vedere subito, prova a fare $y=mx$
in questo caso si aveva
$ \lim_(x\to 0) (x^2+m^2x^2)/(x^2-m^2x^2)=\lim_(x\to 0) (x^2(1+m^2))/(x^2(1-m^2))=(1+m^2)/(1-m^2) $
il limite dipende dal parametro m
quindi il limite NON esiste!
è solo un modo più veloce
ma ti do solo un suggerimento..
la prossima volta, per vedere subito, prova a fare $y=mx$
in questo caso si aveva
$ \lim_(x\to 0) (x^2+m^2x^2)/(x^2-m^2x^2)=\lim_(x\to 0) (x^2(1+m^2))/(x^2(1-m^2))=(1+m^2)/(1-m^2) $
il limite dipende dal parametro m
quindi il limite NON esiste!
è solo un modo più veloce
Ok, grazie. Allora ciò dovrebbe valere anche nel caso:
$f(x,y) = x^3 /(x^2 + y^2)$
$lim_(x -> 0) f(x,0) =0 $
$lim_(y->0) f(0,y) = infty$
Il limite dunque non dovrebbe esistere, ma con in coordinate polari ottengo che:
$lim_(rho -> 0^+) rho cos ^3 theta = 0$ uniformemente rispetto a $theta$.
Dove sbaglio?
$f(x,y) = x^3 /(x^2 + y^2)$
$lim_(x -> 0) f(x,0) =0 $
$lim_(y->0) f(0,y) = infty$
Il limite dunque non dovrebbe esistere, ma con in coordinate polari ottengo che:
$lim_(rho -> 0^+) rho cos ^3 theta = 0$ uniformemente rispetto a $theta$.
Dove sbaglio?
Ciao singularity,
Sbagli nel secondo limite, vale $0$ anche lui, non $\infty$.
D'altronde posto $f(x, y) := frac{x^3}{x^2 + y^2}$, si ha:
$ lim_((x,y)->(0,0))f(x, y) = 0$
Infatti, passando in coordinate polari, si ha:
$frac{x^3}{x^2 + y^2} = \rho cos^3 \theta $
E quindi si può scrivere la maggiorazione
$|frac{x^3}{x^2 + y^2}| = |\rho cos^3 \theta | \le \rho$
E dato che $0 \le |f(x, y)| \le \rho$, la funzione è arbitrariamente vicina a $0$ quando $\rho$, cioè la distanza fra $(x, y)$ e $(0, 0)$, è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite che hai proposto è $0$ proprio per definizione di limite.
Sbagli nel secondo limite, vale $0$ anche lui, non $\infty$.
D'altronde posto $f(x, y) := frac{x^3}{x^2 + y^2}$, si ha:
$ lim_((x,y)->(0,0))f(x, y) = 0$
Infatti, passando in coordinate polari, si ha:
$frac{x^3}{x^2 + y^2} = \rho cos^3 \theta $
E quindi si può scrivere la maggiorazione
$|frac{x^3}{x^2 + y^2}| = |\rho cos^3 \theta | \le \rho$
E dato che $0 \le |f(x, y)| \le \rho$, la funzione è arbitrariamente vicina a $0$ quando $\rho$, cioè la distanza fra $(x, y)$ e $(0, 0)$, è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite che hai proposto è $0$ proprio per definizione di limite.
"pilloeffe":
Ciao singularity,
Sbagli nel secondo limite, vale $0$ anche lui, non $\infty$.
Ciao! In questo caso mi ero perso in un bicchier d'acqua
Grazie a tutti per le risposte.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo