Limite in due variabili

[simos93]

Vorrei una mano nel calcolo di questo limite.

$lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{x^3}{x-y^2}$

Se passo in coordinate polari ottengo facilmente che il candidato limite è 0. L'unico problema è la dipendenza dall'angolo. So di per certo che il limite è 0. Ma non so come dimostrarlo effettivamente. Da notare che se non l'avessi saputo avrei provato (invano) a dimostrare che il limite non esiste.

[seb1]

Passando, sì, in coordinate polari, hai:\[\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^2\cos^3{\theta}}{\cos{\theta}-\rho\sin^2{\theta}}\]Ora il problema sta nel verificare se si annulla o meno il denominatore e ciò può accadere solamente se \(\cos{\theta}=0\), ma - imposta questa condizione - è facile verificare che il limite vale \(0\). È altrettanto semplice verificare che il limite vale ancora zero se \(\cos{\theta}\neq0\). Ma allora il limite è nullo...per ogni scelta di \(\theta\)! Perciò il limite non dipende dall'angolo.
Spero di aver risposto

[simos93]

ok ma allora stando a questo ragionamento se ad esempio prendessi il limite

$lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{ysin(x)}{x^2+y}$

avrei passando in polari:

$lim_{\rho\rightarrow0} \frac{sin(\theta)sin(\rhocos(\theta))}{\rhocos^2(\theta)+sin(\theta)}$

E quindi dovrei studiare il limite rispetto all'annullamento o meno di $sin(\theta)$. In entrambi i casi tale limite vale 0, dunque dovrei dedurre che il limite è 0. Peccato che in questo caso il limite non esista.

[Ernesto011]

Purtroppo Seb non puoi verificare caso per caso l'angolo, puoi soltanto applicare il teorema dei carabinieri oppure farlo ad occhio quando è evidente che non c'è dipendenza da $theta$.

[seb1]

Pensavo che il quesito riguardasse il concetto di indipendenza dall'angolo, cioè un quesito di basi, così ho cercato di dare una risposta intuitiva al caso, ma fasulla e fuorviante e mi scuso! Certo, potevano esserci \(\theta\) più "nascosti" pronti falsificare il ragionamento.

[21zuclo]

Si allora.. per dimostrare che proprio il limite esiste.. io farei

si passare in coordinate polari ed ottengo $ f(\rho,\theta)=(\rho^2 \cos^3(\theta))/(\cos(\theta)-\rho \sin^2(\theta)) $

mi sembra di ricordare di aver visto in qualche lezione in università questo $ |a-b|\leq|a|+|b| $

e poi ad un'esercitazione di Analisi 2, mi ricordo che l'esercitatore ci aveva detto

Dati 3 numeri positivi
$ \alpha,\beta,\gamma \geq0 $ allora si ha $ (\alpha)/(\beta+\gamma)\leq (\alpha)/(\beta) $ perchè $ \beta+\gamma \geq \beta $

Quindi, per quanto detto sopra.. io farei

$ |(\rho^2 \cos^3(\theta))/(\cos(\theta)-\rho \sin^2(\theta)) |\leq (\rho^2|\cos^3(\theta)|)/(|\cos\theta|+\rho|\sin^2\theta|) $

ora io farei $ \cos\theta+\rho \sin^2\theta \geq \rho \sin^2\theta $

quindi hai che
$ (\rho^2|\cos^3(\theta)|)/(|\cos\theta|+\rho|\sin^2\theta|) \leq (\rho^2|\cos^3\theta|)/(\rho |\sin^2\theta|) = \rho |(\cos^3\theta)/(\sin^2\theta)| \to 0 $

per ovviamente $ \rho \to 0 $

tende a 0 perchè hai una quantità che va a 0 che moltiplica una quantità limitata.. quindi il limite fa zero

[simos93]

Quando applichi $\abs{a-b}\le\abs{a}+\abs{b}$ lo fai in realtà al denominatore, quindi la disuguaglianza non vale.