Limite in due variabili

[curiosone1]

Ciao ragazzi, io ed un mio amico non riusciamo a calcolare un limite in due variabili.
Abbiamo:
$ \lim_{(x, y)\to (1, 0)} \frac{\sin(x-1)-e^{x-1}+1}{(x-1)^2+y^2} = $
Ora poniamo: t=x-1 (quindi t tende a 0):
$= \lim_{(t, y)\to (0, 0)} \frac{\sin(t)-e^{t}+1}{t^2+y^2} = $
$= \lim_{(t, y)\to (0, 0)} \frac{\sin(t)-e^{t}+1}{t^2+y^2} \cdot\frac{t}{t}= $
$= \lim_{(t, y)\to (0, 0)} ( \frac{\sin(t)}{t} - \frac{e^t-1}{t}) \cdot \frac{t}{t^2+y^2}= $
Passaggio alle coordinate polari con rho e theta:
$= \lim_{(t, y)\to (0, 0)} (1 - 1) \cdot \frac{\cos\theta}{\rho}= $

Quel "1-1" ci porta a dire che il limite è pari a zero ma Wolphram ci dice che il limite non esiste.
Giunti a questo punto, che cosa possiamo fare? Grazie

[Berationalgetreal]

Quel $1-1$ come lo chiami tu è il risultato di un limite. Stai sfruttando il fatto che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, ma non puoi. Se guardi bene, hai una forma \( \frac{0}{0} \) e non puoi cavartela facendo soltanto il primo limite ed ignorando il secondo.

[curiosone1]

Ciao!
Noi sappiamo che il limite del prodotto è pari al prodotto dei limiti. In quale senso sbagliamo?
Anche se ha la forma indeterminata, è sufficiente per dire che il limite non esiste?

[Berationalgetreal]

"curiosone":Ciao!
Noi sappiamo che il limite del prodotto è pari al prodotto dei limiti. In quale senso sbagliamo?
Anche se ha la forma indeterminata, è sufficiente per dire che il limite non esiste?

Date due funzioni \( \varphi (x,y), \ \psi(x,y) \):

\[ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} { \varphi(x,y)\psi(x,y) } = \underbrace{ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0) } {\varphi(x,y)} \cdot \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0) }{\psi(x,y) } }_{{} \ell } \iff \ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} \]

In questo caso, quel prodotto fa \( \frac{0}{0} \), quindi la regola non vale. Il fatto che venga fuori una forma indeterminata, tuttavia, non significa che il limite non esista.

[donald_zeka]

Insomma, a occhio si vede subito che il limite non esiste, guarda il numeratore e il denominatore...

[curiosone1]

"Vulplasir":Insomma, a occhio si vede subito che il limite non esiste, guarda il numeratore e il denominatore...

Grazie per le risposte.
Purtroppo noi non riusciamo a vedere a occhio che il limite non esiste, ci potresti gentilmente fornire qualche indicazione in più? Grazie

[ViciousGoblin]

Io lo vedo così. (non proprio a occhio...)

$ \lim_{(t, y)\to (0, 0)} \frac{\sin(t)-e^{t}+1}{t} \cdot\frac{t}{t^2+y^2}= $ (Taylor in $t$ fino al secondo ordine)
$ = \lim_{(t, y)\to (0, 0)} \frac{-t^2/2+o(t^2)}{t} \cdot\frac{t}{t^2+y^2}= $
$ = \lim_{(t, y)\to (0, 0)} -\frac{1+o(1)}{2} \cdot\frac{t^2}{t^2+y^2}= $

Il primo fattore tende a $-1/2$ bisogna vedere cosa fa il secondo. Purtroppo il secondo non ha limite (pur essendo limitato):
lo si vede per esempio facendo il limite sulle restrizioni $y=mt$
$ \frac{t^2}{t^2+m^2t^2}=\frac{1}{1+m^2}$ (dipende da $m$!!!)

Dunque la funzione ristretta alla retta $y=mt$ tende a $-\frac{1}{2}\frac{1}{1+m^2}$ che dipende da $m$ se quinbdi il limite non esiste.

[curiosone1]

"ViciousGoblin":Io lo vedo così. (non proprio a occhio...)

$ \lim_{(t, y)\to (0, 0)} \frac{\sin(t)-e^{t}+1}{t} \cdot\frac{t}{t^2+y^2}= $ (Taylor in $t$ fino al secondo ordine)
$ = \lim_{(t, y)\to (0, 0)} \frac{-t^2/2+o(t^2)}{t} \cdot\frac{t}{t^2+y^2}= $
$ = \lim_{(t, y)\to (0, 0)} -\frac{1+o(1)}{2} \cdot\frac{t^2}{t^2+y^2}= $

Il primo fattore tende a $-1/2$ bisogna vedere cosa fa il secondo. Purtroppo il secondo non ha limite (pur essendo limitato):
lo si vede per esempio facendo il limite sulle restrizioni $y=mt$
$ \frac{t^2}{t^2+m^2t^2}=\frac{1}{1+m^2}$ (dipende da $m$!!!)

Dunque la funzione ristretta alla retta $y=mt$ tende a $-\frac{1}{2}\frac{1}{1+m^2}$ che dipende da $m$ se quinbdi il limite non esiste.

Grazie mille, ora ci è più chiaro!