Limite in due variabili
Buongiorno, sono alle prese con il seguente esercizio.
Dimostrare che il limite \( \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{e^{x^2/|t|}}{\sqrt(|t|)} \) non esiste.
Ho provato a considerare la restrizione della funzione alla curva \( \gamma(t):=(t,t^2) \) .
Sto quindi andando a $0$ tramite parabole.
Allora \( f \circ \gamma(t)= \frac{e^{-t^2/|t^2|}}{\sqrt|t^2|} \) = \( \frac{e^{-1}}{|t|} \)
Ora però, $t$ può tendere a $0$ sia da destra che da sinistra, per cui in un caso avrei trovato che il limite tende a $+\infty$ mentre nell'altro a $-\infty$. Pertanto il limite non esiste.
Può andar bene?
Altrimenti avevo pensato di passare in coordinate polari:
La funzione diventa: \( \frac{e^{-\rho ^2cos^2(\theta)/\rho|sen(\theta)|}}{\sqrt{\rho sen(\theta)}}= \frac{e^{-\rho cos^2(\theta)/|sen(\theta)|}}{\sqrt{\rho sen(\theta)}} \)
Provo a compiere qualche maggiorazione \( |\frac{e^{-\rho cos^2(\theta)/|sen(\theta)|}}{\sqrt{\rho sen(\theta)}}|\leq \frac{e^{p/|sen(\theta)|}}{\sqrt{\rho}} \)
Ora dovrei mostrare che dipende dalla scelta di $theta$, ma non saprei come procedere in modo corretto.
Grazie a chiunque avrà la cortesia di rispondere
Dimostrare che il limite \( \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{e^{x^2/|t|}}{\sqrt(|t|)} \) non esiste.
Ho provato a considerare la restrizione della funzione alla curva \( \gamma(t):=(t,t^2) \) .
Sto quindi andando a $0$ tramite parabole.
Allora \( f \circ \gamma(t)= \frac{e^{-t^2/|t^2|}}{\sqrt|t^2|} \) = \( \frac{e^{-1}}{|t|} \)
Ora però, $t$ può tendere a $0$ sia da destra che da sinistra, per cui in un caso avrei trovato che il limite tende a $+\infty$ mentre nell'altro a $-\infty$. Pertanto il limite non esiste.
Può andar bene?
Altrimenti avevo pensato di passare in coordinate polari:
La funzione diventa: \( \frac{e^{-\rho ^2cos^2(\theta)/\rho|sen(\theta)|}}{\sqrt{\rho sen(\theta)}}= \frac{e^{-\rho cos^2(\theta)/|sen(\theta)|}}{\sqrt{\rho sen(\theta)}} \)
Provo a compiere qualche maggiorazione \( |\frac{e^{-\rho cos^2(\theta)/|sen(\theta)|}}{\sqrt{\rho sen(\theta)}}|\leq \frac{e^{p/|sen(\theta)|}}{\sqrt{\rho}} \)
Ora dovrei mostrare che dipende dalla scelta di $theta$, ma non saprei come procedere in modo corretto.
Grazie a chiunque avrà la cortesia di rispondere
Risposte
Il primo modo va benissimo, il secondo non lo puoi usare per dimostrare la non esistenza, lo puoi usare solo per verificare l'esistenza.
Grazie mille per la conferma ! 
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