Limite in due variabili
Buongiorno, qualcuno mi potrebbe aiutare con questo esercizio, non capisco come dovrei impostare xy=/=0 sul limite [emoji20]
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Risposte
Banalmente definisci $t=xy$ e ti si trasforma in un limite di una variabile, e risolvi il limite in una variabile :
$$
\lim_{t\to 0}t\sin\left(\frac{1}{t}\right)=0
$$
fine dello studio sulla continuità... questo lo puoi fare solo perché con la sostituzione scompaiono tutte le $x$ e le $y$ se ne rimanesse anche solo una saresti punto e a capo...
Chiaramente questa sostituzione non ti dice il comportamento della funzione a più infinito vicino alle rette, che secondo me è un po' complicato, ma penso esuli dall'esercizio...
La derivabilità è banale perché le derivate parziali sono identicamente nulle sugli assi(poi dipende da che definizione di "derivabilità" adotti)
quindi il differenziale è nullo per cui il limite da studiare per determinare se è differenziabile è il seguente:
$$
\lim_{xy\to 0}\frac{xy\sin\left(\frac{1}{xy}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}
$$
dove ho scelto come norma la norma euclidea...
Studiamo il limite del modulo, tanto bisogna far vedere che è nullo, quindi va bene uguale, e maggioriamo:
$$
\frac{|xy|\left|\sin\left(\frac{1}{xy}\right)\right|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{|xy|}{\sqrt{2|xy|}}=\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{2}}\to 0
$$
dove l'ultima espressione tende a zero per $xy\to 0$ (siamo tornati ad un limite di una varibile $t=xy$) quindi è differenziabile su tutto il suo dominio.
$$
\lim_{t\to 0}t\sin\left(\frac{1}{t}\right)=0
$$
fine dello studio sulla continuità... questo lo puoi fare solo perché con la sostituzione scompaiono tutte le $x$ e le $y$ se ne rimanesse anche solo una saresti punto e a capo...
Chiaramente questa sostituzione non ti dice il comportamento della funzione a più infinito vicino alle rette, che secondo me è un po' complicato, ma penso esuli dall'esercizio...
La derivabilità è banale perché le derivate parziali sono identicamente nulle sugli assi(poi dipende da che definizione di "derivabilità" adotti)
quindi il differenziale è nullo per cui il limite da studiare per determinare se è differenziabile è il seguente:
$$
\lim_{xy\to 0}\frac{xy\sin\left(\frac{1}{xy}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}
$$
dove ho scelto come norma la norma euclidea...
Studiamo il limite del modulo, tanto bisogna far vedere che è nullo, quindi va bene uguale, e maggioriamo:
$$
\frac{|xy|\left|\sin\left(\frac{1}{xy}\right)\right|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{|xy|}{\sqrt{2|xy|}}=\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{2}}\to 0
$$
dove l'ultima espressione tende a zero per $xy\to 0$ (siamo tornati ad un limite di una varibile $t=xy$) quindi è differenziabile su tutto il suo dominio.
la possibilità di poter sostituire le variabili purché non compaiano altre variabile è stata una grande illuminazione. Grazie mille! 
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