Limite in due variabili

Lucrezia29 · 2015-11-26CET19:23:57+01:00

"Buonasera, \nsto studiando Analisi II e misto preparando per un test che verr\u00e0 espletato luned\u00ec. Il professore ha lasciato alcuni esercizi da risolvere e se possibile vorrei sapere se il mio procedimento \u00e8 giusto oppure sto sbagliando. \n\nVi pongo l'esercizio: \n\nCalcolare\n\n $ lim_((x,y) -> (0,0)) ((1-e^(x^2y^4)) \// (x^4y^4)) $ \n\nAllora come prima cosa ho cominciato a fare le sostituzioni pi\u00f9 semplici ovvero quelli sugli assi. \nIl limite sostituendo x=0 \u00e8 il seguente\n \n$ lim_((y) -> (0)) ((1-e^(0)) \// (0)) $ \n\nIl limite sostituendo y=0 \u00e8 invece\n\n $ lim_((x) -> (0)) ((1-e^(0)) \// (0)) $ \n\nQuindi entrambi i limiti sono uguali e sembrerebbe che il limite sia uguale a zero, ma per esserne sicura ho fatto il TEST DELLE RETTE ovvero sostituisco y=mx e trovo\n\n$ lim_((x) -> (0)) ((1-e^(x^2mx^4)) \// (x^4mx^4)) $ \n\ncon le dovute semplificazioni e tutto quanto mi trovo il limite che \u00e8 uguale a - inf quindi il limite non esiste. \nPer provarlo potevo anche fare una sostituzione per y=x o sbaglio? \nGrazie a chi mi risponder\u00e0."

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Lucrezia29

26 nov 2015, 19:23

Buonasera,
sto studiando Analisi II e misto preparando per un test che verrà espletato lunedì. Il professore ha lasciato alcuni esercizi da risolvere e se possibile vorrei sapere se il mio procedimento è giusto oppure sto sbagliando.

Vi pongo l'esercizio:

Calcolare

$ lim_((x,y) -> (0,0)) ((1-e^(x^2y^4)) / (x^4y^4)) $

Allora come prima cosa ho cominciato a fare le sostituzioni più semplici ovvero quelli sugli assi.
Il limite sostituendo x=0 è il seguente

$ lim_((y) -> (0)) ((1-e^(0)) / (0)) $

Il limite sostituendo y=0 è invece

$ lim_((x) -> (0)) ((1-e^(0)) / (0)) $

Quindi entrambi i limiti sono uguali e sembrerebbe che il limite sia uguale a zero, ma per esserne sicura ho fatto il TEST DELLE RETTE ovvero sostituisco y=mx e trovo

$ lim_((x) -> (0)) ((1-e^(x^2mx^4)) / (x^4mx^4)) $

con le dovute semplificazioni e tutto quanto mi trovo il limite che è uguale a - inf quindi il limite non esiste.
Per provarlo potevo anche fare una sostituzione per y=x o sbaglio?
Grazie a chi mi risponderà.

Risposte

Zero87

26 nov 2015, 23:47

A quest'ora, magari, prendo lucciole per lanterne, però non mi sembra il modo corretto di operare. Soprattutto perché non puoi testare le direzioni $x=0$ e $y=0$ perché in tali direzioni la funzione non è definita quindi quando sostituisci...?!?

Tuttavia c'è un simpatico limite notevole
$lim_(t->0) (e^t-1)/t=1$ e, dunque, $lim_(t->0) (1-e^t)/t= lim_(t->0) -(e^t-1)/t=-1$ cambiando segno per ricondurmi al limite notevole precedente.

Dunque nel tuo caso hai che per $(x,y)->(0,0)$, $x^2y^4 -> 0$ quindi puoi utilizzare questo limite:
$lim_((x,y)->(0,0)) (1-e^(x^2 y^4))/(x^4 y^4)=lim_((x,y)->(0,0)) (1/(x^2) \cdot (1-e^(x^2 y^4))/(x^2 y^4))=$
$=lim_((x,y)->(0,0)) -1/(x^2)$ che non dipende da $y$ e tende a $-\infty$ in generale.

La cosa bella è che wolframalpha mi dice che il limite non esiste, perciò ho sbagliato qualcosa... cosa ho sbagliato?!?

EDIT, 28/11/2015
Ho corretto un piccolo errore di segno quando parlo del limite notevole (non nell'esercizio); comunque l'ho fatto per correttezza perché s'era capito cosa intendessi.